Question

1．設(shè)集合$M=\left\{{（x，y）\left|{y=\sqrt{1-{x^2}}}\right.}\right\}$，N={（x，y）|y=k（x-b）+1}，若對任意的0≤k≤1都有M∩N≠∅，則實數(shù)b的取值范圍是1-$\sqrt{2}$≤b≤3．

Answer 1

分析 依題意，可作出集合A與集合B中曲線的圖形，依題意，數(shù)形結(jié)合即可求得實數(shù)b的取值范圍．

解答 解：∵集合A={（x，y）|y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$}，B={（x，y）|y=k（x-b）+1}，
當0≤k≤1時，都有A∩B≠∅，作圖如下
集合A中的曲線為以（0，0）為圓心，1為半徑的上半圓，B中的點的集合為過（b，1）斜率為k的直線上的點，
由圖知，當k=0時，顯然A∩B≠∅，
當k=1，y=（x-b）+1經(jīng)過點C（1，0）時，此時b=2；
當k=1，直線y=（x-b）+1與曲線y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$相切與點A時，由圓心（0，0）到該直線的距離d=$\frac{|1-b|}{\sqrt{2}}$=1得：
b=1-$\sqrt{2}$或b=1+$\sqrt{2}$（舍）．
∵0≤k≤1時，都有A∩B≠∅，
∴實數(shù)b的取值范圍為：1-$\sqrt{2}$≤b≤2．
故答案為：1-$\sqrt{2}$≤b≤3．

點評 本題考查集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查作圖與分析運算的能力，屬于中檔題．