Question

（2011•懷柔區(qū)一模）已知集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}，其中a_i∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示和a_i+a_j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的個數(shù)．
（Ⅰ）設(shè)集合P={2，4，6，8}，Q={2，4，8，16}，分別求l（P）和l（Q）；
（Ⅱ）對于集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}，猜測a_i+a_j（1≤i＜j≤n）的值最多有多少個；
（Ⅲ）若集合A={2，4，8，…，2ⁿ}，試求l（A）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題中的有關(guān)新定義并且結(jié)合題中所給的集合即可得到l（P）和l（Q）的答案．
（II）根據(jù)組合的有關(guān)知識可得：

C

2 n

=

n(n-1)

2

個，再結(jié)合題中所給的定義解釋即可得到答案．
（Ⅲ） 由題意可得：l(A)≤

n(n-1)

2

，再分情況討論當j≠l時與當j=l，i≠k時，均有a_i+a_j≠a_k+a_l，進而得到l(A)=

n(n-1)

2

．

解答：解：（Ⅰ）因為集合P={2，4，6，8}，
所以2+4=6，2+6=8，2+8=10，4+6=10，4+8=12，6+8=14，
所以可得：l（P）=5．
因為集合Q={2，4，8，16}，
所以2+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24，
所以可得：l（Q）=6．
（Ⅱ）對于集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}，a_i+a_j（1≤i＜j≤n）的值最多有

n(n-1)

2

個．
因為在集合A的n個元素中任取一個元素，共有n種，再從余下的n-1個元素中任取一個元素，
共有n-1種．把取出的元素兩兩作和共有n（n-1）個，
因為a_j+a_i=a_i+a_j等情況，
所以對于集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}，a_i+a_j（1≤i＜j≤n）的值最多有

n(n-1)

2

個．
（Ⅲ） 因為集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}最多有

n(n-1)

2

個a_i+a_j（1≤i＜j≤n）的值，
所以l(A)≤

n(n-1)

2

．
又集合A={2，4，8，…，2ⁿ}，任取a_i+a_j，a_k+a_l（1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n），
當j≠l時，不妨設(shè)j＜l，則a_i+a_j＜2a_j=2^j+1≤a_l＜a_k+a_l，即a_i+a_j≠a_k+a_l．
當j=l，i≠k時，a_i+a_j≠a_k+a_l．
因此，當且僅當i=k，j=l時，a_i+a_j=a_k+a_l．
即所有a_i+a_j（1≤i＜j≤n）的值兩兩不同，
所以l(A)=

n(n-1)

2

．

點評：本題主要考查集合與元素的關(guān)系，以及組合的有關(guān)知識，認真審題，正確的理解題意并且仔細解答是解題的關(guān)鍵點．