【題目】已知數(shù)列{an},{bn}滿足a1=2,b1=4,且 2bn=an+an+1 , an+12=bnbn+1
(Ⅰ)求 a 2 , a3 , a4及b2 , b3 , b4
(Ⅱ)猜想{an},{bn}的通項公式,并證明你的結(jié)論;
(Ⅲ)證明:對所有的 n∈N* , sin

【答案】解:(I)令n=1得 ,解得 ,

令n=2得 ,解得 ,

令n=3得 ,解得

(II)猜想:an=n(n+1),bn=(n+1)2

證明:當(dāng)n=1時,猜想顯然成立,

假設(shè)n=k(k≥1)猜想成立,即ak=k(k+1),bk=(k+1)2,

∵2bk=ak+ak+1,∴ak+1=2bk﹣ak=2(k+1)2﹣k(k+1)=(k+1)(k+2),

∵ak+12=bkbk+1,∴bk+1= =(k+2)2,

∴當(dāng)n=k+1時,猜想成立,

∴an=n(n+1),bn=(n+1)2,n∈N+

(III)證明:由(II)可知 = ,

于是原不等式等價于 sin ,

(i)先證 ,

∵4n2﹣1<4n2,∴(2n+1)(2n﹣1)<4n2,

∴(2n﹣1)2(2n+1)<4n2(2n﹣1),

即( 2 ,即 ,

=

(ii)再證 sin

=x,則0<x≤ ,

設(shè)f(x)=x﹣ sinx,則f′(x)=1﹣ cosx<0,

∴f(x)在(0, )上單調(diào)遞減,

∴f(x)<f(0)=0,即x sinx,

sin

綜上,對所有的 n∈N*, sin


【解析】(I)依次把n=1,2,3代入遞推式即可求出{an},{bn}的前4項;(II)利用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想;(III)利用放縮法證明不等式左邊,利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式右邊.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解歸納推理的相關(guān)知識,掌握根據(jù)一類事物的部分對象具有某種性質(zhì),退出這類事物的所有對象都具有這種性質(zhì)的推理,叫做歸納推理.

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