Question

（2011•綿陽(yáng)一模）己知函數(shù)f（x）=

a

x

-1（其中a是不為0的實(shí)數(shù)），g（x）=lnx，設(shè)F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）判斷函數(shù)F（x）在（0，3]上的單調(diào)性；
（Ⅱ）已知s，t為正實(shí)數(shù)，求證：t^te^x≥s^te^t（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)y=f（

2a

x2+1

）+2m的圖象與函數(shù)y=g（x²+1）的圖象恰好有四個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）求出F（x）的導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)對(duì)參數(shù)a的討論，判斷出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，進(jìn)一步得到函數(shù)的單調(diào)性．
（II）先求出當(dāng)a=1時(shí)F（x）的導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，得到F(

t

s

)≥F（1）=0，整理不等式得到所要證的不等式．
（III）由已知得f(

2a

x2+1

)+2m=g(x2+1)，分離出參數(shù)m，構(gòu)造函數(shù)h（x），通過(guò)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性及極值，畫(huà)出函數(shù)h（x）的草圖，判斷出m的范圍．

解答：解：（Ⅰ）F（x）=

a

x

-1+lnx．
F′（x）=

x-a

x2

，
①當(dāng)a≤0時(shí)，F(xiàn)′（x）≥0，
∴F（x）在（0，3）上是增函數(shù)；
②當(dāng)0＜a＜3時(shí)，x∈（0，a）時(shí)，F(xiàn)′（x）≤0，∴F（x）在（0，a）上是減函數(shù)；
x∈（a，3）時(shí)，F(xiàn)′（x）≥0，∴F（x）在（a，3）上是增函數(shù)．
③當(dāng)a≥3時(shí)，F(xiàn)′（x）≤0，∴F（x）在（0，3）上是減函數(shù)．…（4分）
（Ⅱ）令a=1，則F（x）=

1

x

-1+lnx，于是F′（x）=

x-1

x2

，
∴F（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)．
∴在區(qū)間（0，+∞）上F（x）有F（x）_min=F（1）=0．
∵F(

t

s

)≥F（1）=0，
即

s

t

-1+ln

t

s

≥0≥0，
整理得

t

s

≥e•e-

s

t

，即te

s

t

≥se，即t^te^s≥s^te^t．…（8分）
（III）由已知得f(

2a

x2+1

)+2m=g(x2+1)，代入整理得m=

1

2

ln(x2+1)-

x2

4

+

1

4

．
于是題意即為直線y=m與y=

1

2

ln(x2+1)-

x2

4

+

1

4

的圖象有4個(gè)不同的交點(diǎn)．
令h（x）=

1

2

ln(x2+1)-

x2

4

+

1

4

，
則h′(x)=

x(1-x)(1+x)

2(x2+1)

．

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
h′（x）	+	0	-	0	+	0	-
h（x）	↗	極大值 1 2 ln2	↘	極小值 1 4	↗	極大值 1 2 ln2	↘

可繪出h（x）的大致圖象如圖．
由圖象可知當(dāng)m∈（

1

4

，

1

2

ln2）時(shí)滿足有四個(gè)不同的交點(diǎn)．
∴存在實(shí)數(shù)m∈(

1

4

，

1

2

ln2)時(shí)滿足條件．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查通過(guò)利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，若含參數(shù)一般需要討論；通過(guò)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值問(wèn)題及單調(diào)性，進(jìn)一步可畫(huà)出函數(shù)的草圖，解決兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，屬于難題．