對于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)定義:設f′(x)是函數(shù)y=f(x)的導數(shù)y=f′(x)的導數(shù),若方程f′(x)=0有實數(shù)解x0,則稱點(x0f(x))為函數(shù)y=f(x)的“拐點”.已知函數(shù)f(x)=x3-6x2+5x+4,請回答下列問題.(1)求函數(shù)f(x)的“拐點”A的坐標
(2)檢驗函數(shù)f(x)的圖象是否關于“拐點”A對稱,對于任意的三次函數(shù)寫出一個有關“拐點”的結論;
(3)寫出一個三次函數(shù)G(x),使得它的“拐點”是(1,3)(不要過程)
解:(1)依題意,得:f′(x)=3x
2-12x+5,∴f′′(x)=6x-12=0,得x=2
所以拐點坐標是(2,-2)
(2)設(x
1,y
1)與(x,y)關于(2,-2)中心對稱,并且(x
1,y
1)在f(x),所以就有
,
由y
1=x
13-6x
12+5x
1+4,得-4-y=(4-x)
3-6(4-x)
2+5(x-4)+4
化簡的:y=x
3-6x
2+5x+4
所以(x,y)也在f(x)上,故f(x)關于點(2,-2)對稱.
三次函數(shù)f(x)=ax
3+bx
2+cx+d(a≠0)的“拐點”是(-
,f(-
)),它就是函數(shù)f(x)的對稱中心
(或者:任何一個三次函數(shù)都有拐點;任何一個三次函數(shù)都有對稱中心;任何一個三次函數(shù)平移后可以是奇函數(shù)).
(3),G(x)=a(x-1)
3+b(x-1)
2+3(a≠0),或寫出一個具體函數(shù),如G(x)=x
3-3x
2+3x+2,或G(x)=x
3-3x
2+5x
分析:第一問通過對函數(shù)f(x)二次求導可求出拐點的坐標.第二問考查對稱,求出對稱點坐標,代入驗證即可;第三問是開放型題目,只要滿足條件即可.
點評:本題主考查函數(shù)的拐點,對稱性.考查學生利用導數(shù)解題的能力.一般的,三次函數(shù)f(x)=ax
3+bx
2+cx+d(a≠0)的“拐點”是(-
,f(-
)),它就是函數(shù)f(x)的對稱中心(或者:任何一個三次函數(shù)都有拐點;任何一個三次函數(shù)都有對稱中心;任何一個三次函數(shù)平移后可以是奇函數(shù)).