Question

19．已知下列兩種說法：
①方程x²+mx+1=0有兩個(gè)不同的負(fù)根；
②方程4x²+4（m-2）x=1=0無(wú)實(shí)根．
（1）若①和②都成立，求實(shí)數(shù)m的范圍；
（2）若①和②中至少有一個(gè)成立，求實(shí)數(shù)m的范圍；
（3）若①和②中有且只有一個(gè)成立，求實(shí)數(shù)m的范圍．

Answer 1

分析 首先求得兩方程①②滿足條件時(shí)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)m的范圍，（1）若①和②都成立時(shí)求兩范圍的交集，（2）若①和②中至少有一個(gè)成立時(shí)要分情況，①成立②不成立，①不成立②成立，①②都成立分別求解實(shí)數(shù)m的范圍；（3）若①和②中有且只有一個(gè)成立則①成立②不成立，①不成立②成立兩種情況．

解答 解：∵關(guān)于x的方程x²+mx+1=0有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)數(shù)根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-4＞0}\\{m＞0}\end{array}\right.$，解得m＞2；
∵方程4x²+4（m-2）x+1=0無(wú)實(shí)根，
∴16（m-2）²-16＜0，∴1＜m＜3使①成立的m的集合為A={m|m＞2}，
使②成立的m的集合為B={m|1＜m＜3}．
（1）若①和②都成立，即A∩B={m|2＜m＜3}．
（2）若①和②中至少有一個(gè)成立，即A∪B={m|m＞1}；
（3）若①和②中有且只有一個(gè)成立，即$\left\{\begin{array}{l}{m＞2}\\{m≤1或m≥3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m≤2}\\{1＜m＜3}\end{array}\right.$，
∴實(shí)數(shù)m的范圍{m|1＜m≤2或m≥3}．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查方程根的研究，考查集合的關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．