Question

2．設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x³+ax²+（a+2）x的導(dǎo)函數(shù)是f′（x），且f′（x）是偶函數(shù)，則此曲線y=f（x）在原點(diǎn)處的切線方程為（　　）

• A． y=-2x
• B． y=3x
• C． y=-3x
• D． y=2x

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再由導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)求得a，進(jìn)一步得到f′（0）=2，又f（0）=0，則由直線方程的點(diǎn)斜式求得答案．

解答 解：由f（x）=x³+ax²+（a+2）x，得f′（x）=3x²+2ax+a+2．
∵f′（x）是偶函數(shù)，∴f′（-x）-f′（x）=0．
即3x²-2ax+a+2-3x²-2ax-a-2=0，∴a=0．
即f′（x）=3x²+2，∴f′（0）=2，
又f（0）=0，
∴曲線y=f（x）在原點(diǎn)處的切線方程為y=2x．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，訓(xùn)練了直線方程點(diǎn)斜式的求法，是中檔題．