Question

已知向量

OA

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)，

OB

=(cos

1

2

x，-sin

1

2

x)，且x∈[-

π

4

，

π

4

]．
（Ⅰ）若f(x)=

OA

•

OB

，求函數f（x）關于x的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的值域；
（Ⅲ）設t=2f（x）+a的值域為D，且函數g(t)=

1

2

t2+t-2在D上的最小值為2，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲求函數的解析式，只要運用向量積的點坐標運算公式計算得到

OA

•

OB

的結果．
（Ⅱ）要求函數值域，只要根據定義域及三角函數的值域的求法即可．
（III））先由t=2f（x）+a得出：D=[a，a+2]，又函數g(t)=

1

2

t2+t-2在D上的最小值為2，利用g（t）在[a，a+2]上單調得到關于a的不等式和方程的混合組，解此不等式和方程組即可．

解答：解：（I）∵f(x)=

OA

•

OB

由向量積的點坐標運算公式計算得：
∴f(x)=cos

3

2

xcos

1

2

x-sin

3

2

xsin

1

2

x=cos2x
（II）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，∴cos2x∈[0，1]，∴f（x）的值域為[0，1]
（III）∵t=2f（x）+a，∴t∈[a，a+2]，∴D=[a，a+2]
又函數g(t)=

1

2

t2+t-2在D上的最小值為2
∴g（t）在[a，a+2]上單調
∴

a＞-1 1 2 a2+a-2=2

或

a+2＜-1 1 2 (a+2)2+a=2

解得a=2或-6

點評：本題考查平面向量數量積的運算，三角函數的周期性及其求法，同時還考查了三角函數的最值的求法．