【題目】如圖是圓柱體的母線, 是底面圓的直徑, 分別是的中點(diǎn), .
(1)求證: 平面;
(2)求點(diǎn)到平面的距離;
(3)求二面角的大小.
【答案】(1)證明見解析;(2) ;(III)
【解析】試題分析:以為原點(diǎn), 分別為軸的正方向建立空間坐標(biāo)系,
(1)平面的法向量可取,由,從而得證;
(2)求出平面的法向量,利用求解即可;
(3)求出平面的法向量,平面的法向量可取,由求解二面角的余弦值即可.
試題解析:
因?yàn)?/span>是直徑,所以, ,
又母線,所以, 。
以為原點(diǎn), 分別為軸的正方向建立空間坐標(biāo)系,可得各點(diǎn)坐標(biāo)如下:
.
(1)平面的法向量可取, ,因?yàn)?/span>,且不在平面內(nèi),所以
(2)設(shè)平面的法向量,則,
取得
點(diǎn)到平面的距離即向量在法向量上的投影,
.
(3)設(shè)平面的法向量,則,
取得
平面的法向量可取,所以,
易見二面角是銳角,所以二面角的大小是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
已知, ,函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng), 時(shí),解關(guān)于的不等式;
(Ⅱ)若函數(shù)的最大值為2,求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,圓的方程為.
(1)寫出直線的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點(diǎn),直線與圓相交于兩點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩名同學(xué)準(zhǔn)備參加考試,在正式考試之前進(jìn)行了十次模擬測試,測試成績?nèi)缦拢?/span>
甲:137,121,131,120,129,119,132,123,125,133
乙:110,130,147,127,146,114,126,110,144,146
(1)畫出甲、乙兩人成績的莖葉圖,求出甲同學(xué)成績的平均數(shù)和方差,并根據(jù)莖葉圖,寫出甲、乙兩位同學(xué)平均成績以及兩位同學(xué)成績的中位數(shù)的大小關(guān)系的結(jié)論;
(2)規(guī)定成績超過127為“良好”,現(xiàn)在老師分別從甲、乙兩人成績中各隨機(jī)選出一個(gè),求選出成績“良好”的個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
(注:方差,其中為的平均數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中, 為坐標(biāo)原點(diǎn), 、是雙曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,直線與直線斜率之積為2,已知平面內(nèi)存在兩定點(diǎn)、,使得為定值,則該定值為________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市準(zhǔn)備引進(jìn)優(yōu)秀企業(yè)進(jìn)行城市建設(shè). 城市的甲地、乙地分別對5個(gè)企業(yè)(共10個(gè)企業(yè))進(jìn)行綜合評估,得分情況如莖葉圖所示.
(Ⅰ)根據(jù)莖葉圖,求乙地對企業(yè)評估得分的平均值和方差;
(Ⅱ)規(guī)定得分在85分以上為優(yōu)秀企業(yè). 若從甲、乙兩地準(zhǔn)備引進(jìn)的優(yōu)秀企業(yè)中各隨機(jī)選取1個(gè),求這兩個(gè)企業(yè)得分的差的絕對值不超過5分的概率.
注:方差
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定圓,定直線,過的一條動(dòng)直線與直線相交于,與圓相交于, 兩點(diǎn), 是中點(diǎn).
(Ⅰ)當(dāng)與垂直時(shí),求證: 過圓心.
(Ⅱ)當(dāng),求直線的方程.
(Ⅲ)設(shè),試問是否為定值,若為定值,請求出的值;若不為定值,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列,如果滿足()為完全平方數(shù),則稱數(shù)列具有“性質(zhì)”;不論數(shù)列是否具有“性質(zhì)”,如果存在與不是同一數(shù)列的,且同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件:①是的一個(gè)排列;②數(shù)列具有“性質(zhì)”,則稱數(shù)列具有“變換性質(zhì)”.
(Ⅰ)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和,證明數(shù)列具有“性質(zhì)”;
(Ⅱ)試判斷數(shù)列和數(shù)列是否具有“變換性質(zhì)”,具有此性質(zhì)的數(shù)列請寫出相應(yīng)的數(shù)列,不具此性質(zhì)的說明理由;
(Ⅲ)對于有限項(xiàng)數(shù)列,某人已經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)()時(shí),數(shù)列具有“變換性質(zhì)”,試證明:當(dāng)時(shí),數(shù)列也具有“變換性質(zhì)”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為, 上的動(dòng)點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4,當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到橢圓的上頂點(diǎn)時(shí),直線恰與以原點(diǎn)為圓心,以橢圓的離心率為半徑的圓相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為,若交直線于兩點(diǎn).問以為直徑的圓是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn),請求出該定點(diǎn)坐標(biāo);若不過定點(diǎn),請說明理由.
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