Question

直線L：y=kx+1與橢圓C：ax²+y²=2（a＞1）交于A、B兩點(diǎn)，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）若k=1，且四邊形OAPB為矩形，求a的值；
（2）若a=2，當(dāng)k變化時(shí)（k∈R），求點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）聯(lián)立

y=x+1 ax2+y2=2

，得：（1+a）x²+2x-1=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出a=4．
（2）聯(lián)立

y=kx+1 2x2+y2=2

，得：（2+k²）x²+2kx-1=0，由此利用韋達(dá)定理和平面向量的運(yùn)算法則能求出P點(diǎn)的軌跡方程．

解答： 解：（1）聯(lián)立

y=x+1 ax2+y2=2

，得：（1+a）x²+2x-1=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x1+x2=- 2 1+a x1x2=- 1 1+a

，
∴y₁y₂=（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+（x₁+x₂）+1=

a-2

a+1

，
∵四邊形OAPB為矩形，∴OA⊥0B，
∴x₁x₂+y₁y₂=（-

2

1+a

）+

a-2

a+1

=0，
解得a=4．（6分）
（2）聯(lián)立

y=kx+1 2x2+y2=2

，
得：（2+k²）x²+2kx-1=0，
∵以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，
設(shè)P（x，y），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=-

2k

2+k2

，y₁+y₂=（kx₁+1）+（kx₂+1）=k（x₁+x₂）+2=

4

k2+2

，
∴

x=x1+x2= -2k 2+k2 y=y1+y2= 4 k2+2

，∴k=-

2x

y

，
∴P點(diǎn)的軌跡方程為2x+ky=0．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理的合理運(yùn)用．