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20.已知cos(α-\frac{π}{3})=\frac{1}{3},則sin(2α-\frac{π}{6})的值為( �。�
A.-\frac{4}{9}\sqrt{2}B.\frac{4}{9}\sqrt{2}C.±\frac{4}{9}\sqrt{2}D.-\frac{7}{9}

分析 法一、把sin(2α-\frac{π}{6})化為sin[2(α-\frac{π}{3})+\frac{π}{2}],利用誘導(dǎo)公式化為余弦,再代入二倍角的余弦公式求解;
法二、由已知求出sin(α-\frac{π}{3}),然后分類求得sin(α-\frac{π}{12})和cos(α-\frac{π}{12})的值,再代入二倍角公式求得sin(2α-\frac{π}{6})的值.

解答 解:法一、∵cos(α-\frac{π}{3})=\frac{1}{3},
∴sin(2α-\frac{π}{6})=sin[2(α-\frac{π}{3})+\frac{π}{2}]=cos2(α-\frac{π}{3}
=2co{s}^{2}(α-\frac{π}{3})-1=2×(\frac{1}{3})^{2}-1=-\frac{7}{9}
故選:D.
法二、由cos(α-\frac{π}{3})=\frac{1}{3},得sin(α-\frac{π}{3})=±\frac{2\sqrt{2}}{3},
∴當(dāng)sin(α-\frac{π}{3})=\frac{2\sqrt{2}}{3}時(shí),
cos(α-\frac{π}{12})=cos[(α-\frac{π}{3})+\frac{π}{4}]=cos(α-\frac{π}{3})cos\frac{π}{4}-sin(α-\frac{π}{3})sin\frac{π}{4}
=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{6}-\frac{2}{3},
sin(α-\frac{π}{12})=sin[(α-\frac{π}{3})+\frac{π}{4}]=sin(α-\frac{π}{3})cos\frac{π}{4}+cos(α-\frac{π}{3})sin\frac{π}{4}
=\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{2}{3},
∴sin(2α-\frac{π}{6})=sin2(α-\frac{π}{12})=2sin(α-\frac{π}{12})cos(α-\frac{π}{12})=2(\frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{2}{3})(\frac{\sqrt{2}}{6}-\frac{2}{3})=-\frac{7}{9};
當(dāng)sin(α-\frac{π}{3})=-\frac{2\sqrt{2}}{3}時(shí),
cos(α-\frac{π}{12})=cos[(α-\frac{π}{3})+\frac{π}{4}]=cos(α-\frac{π}{3})cos\frac{π}{4}-sin(α-\frac{π}{3})sin\frac{π}{4}
=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{2}{3},
sin(α-\frac{π}{12})=sin[(α-\frac{π}{3})+\frac{π}{4}]=sin(α-\frac{π}{3})cos\frac{π}{4}+cos(α-\frac{π}{3})sin\frac{π}{4}
=-\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{6}-\frac{2}{3},
∴sin(2α-\frac{π}{6})=sin2(α-\frac{π}{12})=2sin(α-\frac{π}{12})cos(α-\frac{π}{12})=2(\frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{2}{3})(\frac{\sqrt{2}}{6}-\frac{2}{3})=-\frac{7}{9}
綜上,sin(2α-\frac{π}{6})=-\frac{7}{9}
故選:D.

點(diǎn)評(píng) 本題考查二倍角的余弦,考查了學(xué)生的計(jì)算能力,關(guān)鍵是“拆角配角”思想的應(yīng)用,是中檔題.

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