Question

【題目】已知函數f（x）=kx2+（3+k）x+3，其中k為常數，且k≠0．
（1）若f（2）=3，求函數f（x）的表達式；
（2）在（1）的條件下，設函數g（x）=f（x）﹣mx，若g（x）在區(qū)間[﹣2，2]上是單調函數，求實數m的取值范圍；
（3）是否存在k使得函數f（x）在[﹣1，4]上的最大值是4？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（2）=3，可得4k+2（3+k）+3=3，∴k=﹣1

∴f（x）=﹣x2+2x+3

（2）解：由（1）得g（x）=f（x）﹣mx=﹣x2+（2﹣m）x+3，函數的對稱軸為x=

∵g（x）在區(qū)間[﹣2，2]上是單調函數，

∴ 或

∴m≤﹣2或m≥6

（3）解：f（x）=kx2+（3+k）x+3的對稱軸為

①k＞0時，函數圖象開口向上， ，此時函數f（x）在[﹣1，4]上的最大值是f（4）=16k+（3+k）×4+3=20k+15=4，∴ ，不合題意，舍去；

②k＜0時，函數圖象開口向下， ，

1°若 ，即 時，函數f（x）在[﹣1，4]上的最大值是f（ ）=

∴k2+10k+9=0，∴k=﹣1或k=﹣9，符合題意；

2°若 ，即 時，函數f（x）在[﹣1，4]上遞增，最大值為f（4）=16k+（3+k）×4+3=20k+15=4，

∴ ，不合題意，舍去；

綜上，存在k使得函數f（x）在[﹣1，4]上的最大值是4，且k=﹣1或k=﹣9

【解析】（1）由f（2）=3，可得k的值，從而可得函數f（x）的表達式；（2）g（x）=f（x）﹣mx=﹣x2+（2﹣m）x+3，函數的對稱軸為x= ，根據g（x）在區(qū)間[﹣2，2]上是單調函數，可得 或 ，從而可求實數m的取值范圍；（3）f（x）=kx2+（3+k）x+3的對稱軸為 ，分類討論，確定函數圖象開口向上，函數f（x）在[﹣1，4]上的單調性，利用最大值是4，建立方程，即可求得結論．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．