Question

6．如圖，在Rt△ABC中，A=90°，AB=AC=2$\sqrt{2}$，D、E分別為AC、AB的中點，將△ABC沿著DE折疊，使平面ADE⊥平面CDEB．
（I）若F為AC的中點，求證：DF∥平面ABE；
（Ⅱ）設(shè)θ為平面ABE與平面ACD兩個平面相交所成的銳角，求θ的正弦值；
（Ⅲ）點H是線段BC上一個動點（點H不與B、C重合），是否存在點H運動到某一位置，使得DH⊥AE成立，如果成立，確定H的位置，如果不成立，說明你的理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取DE中點F，AC中點G，以F為原點，F(xiàn)G為x軸，F(xiàn)D為y軸，F(xiàn)A為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明DF∥平面ABE．
（Ⅱ）求出平面ABE的法向量和平面ACD的法向量，利用向量法能求出θ的正弦值．
（Ⅲ）求出$\overrightarrow{AE}$=（0，-1，-2），設(shè)H（1，t，0），-2＜t＜2，則$\overrightarrow{DH}$=（1，t-1，0），由DH⊥AE，可得$\overrightarrow{DH}•\overrightarrow{AE}$=0，由此求出線段上BC存在點H，使得DH⊥AE成立，且BH=3．

解答 解：（Ⅰ）證明：取DE中點F，AC中點G，以F為原點，F(xiàn)G為x軸，F(xiàn)D為y軸，F(xiàn)A為z軸，
建立空間直角坐標系，
D（0，1，0），C（1，2，0），A（0，0，2），F(xiàn)（$\frac{1}{2}，1，1$），B（1，-2，0），E（0，-1，0），
$\overrightarrow{DF}$=（$\frac{1}{2}，0，1$），$\overrightarrow{AB}$=（1，-2，-2），$\overrightarrow{AE}$=（0，-1，-2），
設(shè)平面ABE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=x-2y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=-y-2z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-2，-2，1），
$\overrightarrow{DF}•\overrightarrow{n}$=-1+0+1=0，
又DF?平面ABE，∴DF∥平面ABE．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面ABE的法向量$\overrightarrow{n}$=（-2，-2，1），
$\overrightarrow{AC}$=（1，2，-2），$\overrightarrow{AD}$=（0，1，-2），
設(shè)平面ACD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=a+2b-2c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=b-2c=0}\end{array}\right.$，取c=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，2，1），
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{9}•\sqrt{5}}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，sinθ=$\sqrt{1-（\frac{1}{\sqrt{5}}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴θ的正弦值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（Ⅲ）線段BC上存在點H，使得DH⊥AE成立，理由如下：
$\overrightarrow{AE}$=（0，-1，-2），設(shè)H（1，t，0），-2＜t＜2，則$\overrightarrow{DH}$=（1，t-1，0），
∵DH⊥AE，∴$\overrightarrow{DH}•\overrightarrow{AE}$=0-（t-1）+0=0，解得t=1，
∴線段上BC存在點H，使得DH⊥AE成立，且BH=3．

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的正弦值的求法，考查條件的點是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．