Question

如圖所示的七面體是由三棱臺(tái)ABC – A₁B₁C₁和四棱錐D- AA₁C₁C對(duì)接而成，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，BB₁⊥平面ABCD，BB₁=2A₁B₁=2．

（I）求證：平面AA₁C₁C₁⊥平面BB₁D；

（Ⅱ）求二面角A –A₁D—C₁的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）略（Ⅱ）余弦值為

【解析】本試題主要是考查了空間幾何體中面面垂直的關(guān)系的證明和二面角的求解的綜合運(yùn)用。

（1）建立合理的空間直角坐標(biāo)系，然后要證明面面垂直，先證明兩個(gè)平面的法向量是不是垂直即可。

（2）對(duì)于二面角的求解，結(jié)合圖形的特點(diǎn)，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到向量的坐標(biāo)，求解平面的法向量，然后借助于向量的夾角公式得到二面角的平面角的大小