(07年西城區(qū)抽樣測(cè)試?yán)恚?4分) 如圖,正三棱柱ABC―A1B1C1中,D是BC的中點(diǎn),AA1=AB=1.
(I)求證:A1C//平面AB1D;
(II)求二面角B―AB1―D的大。
(III)求點(diǎn)c到平面AB1D的距離.
解析:解法一(I)證明:
連接A1B,設(shè)A1B∩AB1 = E,連接DE.
∵ABC―A1B1C1是正三棱柱,且AA1 = AB,
∴四邊形A1ABB1是正方形,
∴E是A1B的中點(diǎn),
又D是BC的中點(diǎn),
∴DE∥A1C. ………………………… 3分
∵DE平面AB1D,A1C平面AB1D,
∴A1C∥平面AB1D. ……………………4分
(II)解:在面ABC內(nèi)作DF⊥AB于點(diǎn)F,在面A1ABB1內(nèi)作FG⊥AB1于點(diǎn)G,連接DG.
∵平面A1ABB1⊥平面ABC, ∴DF⊥平面A1ABB1,
∴FG是DG在平面A1ABB1上的射影, ∵FG⊥AB1, ∴DG⊥AB1
∴∠FGD是二面角B―AB1―D的平面角 …………………………7分
設(shè)A1A = AB = 1,在正△ABC中,DF=
在△ABE中,,
在Rt△DFG中,,
所以,二面角B―AB1―D的大小為 …………………………9分
(III)解:∵平面B1BCC1⊥平面ABC,且AD⊥BC,
∴AD⊥平面B1BCC1,又AD平面AB1D,∴平面B1BCC1⊥平面AB1D.
在平面B1BCC1內(nèi)作CH⊥B1D交B1D的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,
則CH的長(zhǎng)度就是點(diǎn)C到平面AB1D的距離. ……………………………12分
由△CDH∽△B1DB,得
即點(diǎn)C到平面AB1D的距離是 ……………………………………14分
解法二:
建立空間直角坐標(biāo)系D―xyz,如圖,
(I)證明:
連接A1B,設(shè)A1B∩AB1 = E,連接DE.
設(shè)A1A = AB = 1,
則
…………………………3分
,
……………………………………4分
(II)解:, ,
設(shè)是平面AB1D的法向量,則,
故;
同理,可求得平面AB1B的法向量是 ……………………7分
設(shè)二面角B―AB1―D的大小為θ,,
∴二面角B―AB1―D的大小為 …………………………9分
(III)解由(II)得平面AB1D的法向量為,
取其單位法向量
∴點(diǎn)C到平面AB1D的距離 ……………………14分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(07年西城區(qū)抽樣測(cè)試?yán)恚?4分)設(shè)a>0,函數(shù).
(I)若在區(qū)間上是增函數(shù),求a的取值范圍;
(II)求在區(qū)間上的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(07年西城區(qū)抽樣測(cè)試?yán)恚?(14分)設(shè)直線與橢圓相交于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn),與x軸相交于點(diǎn)C,記O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(I)證明:;
(II)若的面積取得最大值時(shí)的橢圓方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(07年西城區(qū)抽樣測(cè)試?yán)恚?2分)已知為第二象限的角,為第三象限的角,.
(I)求的值. (II)求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(07年西城區(qū)抽樣測(cè)試?yán)恚?已知a,b是不共線的向量,R)那么A,B,C三點(diǎn)共線的充要條件為 ( )
A. B. C.=-1 D.=1
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