Question

已知雙曲線的中心在原點，左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為

2

，且過點(4，-

10

)，
（1）求此雙曲線的標準方程；
（2）若直線系kx-y-3k+m=0（其中k為參數(shù)）所過的定點M恰在雙曲線上，求證：F₁M⊥F₂M．

Answer 1

分析：（1）由題意雙曲線的中心在原點，左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為

2

，且過點(4，-

10

)，可先根據(jù)離心率得出a，b的關系，設出雙曲線的方程，代入點(4，-

10

)，求出a，b的值，即可寫出雙曲線的標準方程；
（2）觀察直線，發(fā)現(xiàn)這是一個直線系，將其化為k（x-3）-y+m=0，求出直線系過的定點，又此點在雙曲線上，將其代入雙曲線的標準方程可以求得m的值，由于本題要求證明兩直線垂直，故可以求出兩直線的斜率，驗證其斜率的乘積為-1，從而證明出兩直線垂直的關系．

解答：解：（1）∵e=

2

，∴

c

a

=

2

，∴c²=2a²=a²+b²，∴a=b，
∴設雙曲線方程為x²-y²=a²（a＞0），∵雙曲線經過(4，-

10

)，∴16-10=a²即a²=6，
∴所求雙曲線方程為

x2

6

-

y2

6

=1．----------（4分）
（2）∵直線系方程可化為k（x-3）-y+m=0
∴直線系過定點M（3，m）．------------（5分）
∵M（3，m）在雙曲線上，∴9-m²=6，，∴m²=3
又雙曲線焦點坐標為F1(-2

3

，0)，F2(2

3

，0)
∴kF1M=

m

3+2 3

，kF2M=

m

3-2 3

-----------（7分）
∴kF1M•kF2M=

m2

(3+2 3 )(3-2 3 )

=-1∴F₁M⊥F₂M----------（10分）

點評：本題考查直線與圓錐曲線的關系，考查了求雙曲線的標準方程，圓錐曲線的點與兩焦點的連線互相垂直的證明，理解題意，選恰當?shù)慕鉀Q方法是解答本題的關鍵，本題考查了推理判斷能力及符號計算能力，綜合性強，是近幾年解析幾何考查覺了的題型