Question

已知函數(shù)f（x）=a•2^x+b•3^x，其中常數(shù)a，b為實(shí)數(shù)．
（1）當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)ab＜0時(shí)，求f（x+1）＞f（x）時(shí)的x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性定義，即可證得，注意作差、變形，運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；
（2）首先化簡得到a•2^x+2b•3^x＞0，再討論a＞0，b＜0和a＜0，b＞0，運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得到范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．
理由如下：任取m，n∈R，m＜n，
則f（m）-f（n）=a（2^m-2ⁿ）+b（3^m-3ⁿ），
由于m＜n，則2^m＜2ⁿ，a＞0，即有a（2^m-2ⁿ）＜0，b＞0，3^m＜3ⁿ，即有b（3^m-3ⁿ）＜0，
則f（m）-f（n）＜0，
故函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
（2）f（x+1）＜f（x）
即有f（x+1）-f（x）=（a•2^x+1+b•3^x+1）-（a•2^x+b•3^x）
=a•2^x+2b•3^x＞0，
當(dāng)a＜0，b＞0時(shí)，（

3

2

）^x＞-

a

2b

，則x＞log_1.5（-

a

2b

）；

當(dāng)a＞0，b＜0時(shí)，（

3

2

）^x＜-

a

2b

，則x＜log_1.5（-

a

2b

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性和運(yùn)用：解不等式，考查分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．