Question

14．已知公比不等于1的等比數(shù)列{a_n}，滿足：a₃=3，S₃=9，其中S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₂$\frac{3}{a_{2n+3}}$，若c_n=$\frac{4}{b_n•b_{n+1}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，從而得方程3（1+$\frac{1}{q}$+$\frac{1}{{q}^{2}}$）=9，從而解得；
（Ⅱ）化簡(jiǎn)a_2n+3=3•$\frac{1}{{2}^{2n}}$，從而可得c_n=$\frac{4}{b_n•b_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，從而求和．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，
則有3（1+$\frac{1}{q}$+$\frac{1}{{q}^{2}}$）=9，
解得，q=1（舍去）或q=-$\frac{1}{2}$，
故a_n=3•（-$\frac{1}{2}$）^n-3；
（Ⅱ）a_2n+3=3•$\frac{1}{{2}^{2n}}$，
故b_n=log₂$\frac{3}{a_{2n+3}}$=2n，
故c_n=$\frac{4}{b_n•b_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的應(yīng)用，同時(shí)考查了對(duì)數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用及裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用．