Question

3．已知A是圓錐的頂點，BD是圓錐底面的直徑，C是底面圓周上一點，BD=2，BC=1，AC與底面所成角的大小為$\frac{π}{3}$，過點A作截面ABC，ACD，截去部分后的幾何體如圖所示．
（1）求原來圓錐的側(cè)面積；
（2）求該幾何體的體積．

Answer 1

分析 （1）設BD的中點為O，連結(jié)OA，OC，則OA⊥平面BCD．由經(jīng)能求出S_{圓錐側(cè)}．
（2）該幾何體的體積V=$\frac{1}{3}$（S_△BCD+S_半圓）•AO，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（1）設BD的中點為O，連結(jié)OA，OC，
∵A是圓錐的頂點，BD是圓錐底面的直徑，
∴OA⊥平面BCD．
∵BD=2，BC=1，AC與底面所成角的大小為$\frac{π}{3}$，過點A作截面ABC，ACD，
∴在Rt△AOC中，OC=1，$∠ACO=\frac{π}{3}$，
AC=2，AO=$\sqrt{3}$，
∴S_{圓錐側(cè)}=πrl=$π×\frac{2}{2}×2$=2π．
（2）該幾何體為三棱錐與半個圓錐的組合體，
∵AO=$\sqrt{3}$，∠BCD=90°，∴CD=$\sqrt{3}$，
該幾何體的體積V=$\frac{1}{3}$（S_△BCD+S_半圓）•AO
=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}+\frac{π}{2}）×\sqrt{3}$=$\frac{3+\sqrt{3}π}{6}$．

點評 本題考查原來圓錐的側(cè)面積和幾何體的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．