Question

18．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)，0＜φ＜π），曲線C₂與曲線C₁關(guān)于原點(diǎn)對稱，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₃的極坐標(biāo)方程為ρ=2（0＜θ＜π），過極點(diǎn)O的直線l分別與曲線C₁，C₂，C₃相交于點(diǎn)A，B，C．
（Ⅰ）求曲線C₁的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求|AC|•|BC|的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用同角三角函數(shù)的關(guān)系消元得到C₁的普通方程，在將普通方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程；
（II）求出三條曲線的普通方程，設(shè)直線方程為y=kx（k＞0），求出A，B，C的坐標(biāo)，利用三點(diǎn)的位置關(guān)系得出|AC|•|BC|=（|OC|-|OA|）•（|OA|+|OC|）=|OC|²-|OA|²．將|AC|•|BC|轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的函數(shù)．

解答 解：（I）曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為（x-1）²+y²=1，即x²+y²-2x=0（0＜y≤1）．
∴曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ²-2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ（0＜θ＜π）．
（II）曲線C₂的普通方程為（x+1）²+y²=1（-1≤y＜0），
曲線C₃的普通方程為x²+y²=4（0＜y≤2）．
設(shè)直線l的方程為y=kx（k＞0）．
則A（$\frac{2}{{k}^{2}+1}$，$\frac{2k}{{k}^{2}+1}$），B（-$\frac{2}{{k}^{2}+1}$，-$\frac{2k}{{k}^{2}+1}$），C（$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，$\frac{2k}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$）．
∵A，B關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴|BC|=|OB|+|OC|=|OA|+|OC|，
∴|AC|•|BC|=（|OC|-|OA|）•（|OA|+|OC|）=|OC|²-|OA|²
=$\frac{4+4{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$-$\frac{4+4{k}^{2}}{（{k}^{2}+1）^{2}}$=4-$\frac{4}{{k}^{2}+1}$．
設(shè)f（k）=4-$\frac{4}{{k}^{2}+1}$，則f（k）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∵f（0）=0，$\underset{lim}{k→+∞}f（k）=4$，
∴0＜f（k）＜4．
即|AC|•|BC|的取值范圍時(shí)（0，4）．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．