Question

如圖1，在等腰△ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分別是AC，AB上的點，CD=BE=

2

，O為BC的中點．將△ADE沿DE折起，得到如圖2所示的四棱錐A′-BCDE，其中A′O=

3

．
（1）證明：A′O⊥平面BCDE；      
（2）求A′D與平面A′BC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）利用線面垂直的判定定理證明A′O⊥平面BCDE．
（2）根據(jù)線面角的定義，先求出直線和平面所成的角，然后利用三角邊長關(guān)系求正弦值．

解答：解：（1）在圖1中，易得OC=3，AC=3

2

，AD=2

2

連結(jié)OD，OE，在△OCD中，
由余弦定理可得OD=

OC2+CD2-2OC•CDcos45°

=

5

由翻折不變性可知A′D=2

2

，
∴A'O²+OD²=A'D²，
∴A'O⊥OD．
同理可證A'O⊥OE，
又OD∩OE=O，
∴A'O⊥平面BCDE．
（2）過D作DH⊥BC交OC的延長線于H，連結(jié)A'H，
∵A'O⊥平面BCDE，A'O?面A'BC，
∴面A'BC⊥面BCDE，
∴DH⊥面A'BC，
∴∠DA'H即為A'D與平面A'BC所成角．
又DH=1，A′D=

OD2+A′O2

=2

2

，
∴sin∠DA′H=

DH

A′D

=

2

4

A'D與平面A'BC所成角的正弦值為

2

4

．

點評：本題主要考查直線和平面垂直的判定定理以及直線和平面所成角的大小，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理和線面所成角的求法．