Question

【題目】已知棱長為2的正方體中，E為DC中點(diǎn)，F在線段上運(yùn)動(dòng)，則三棱錐的外接球的表面積最小值為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

取的中點(diǎn)，易知為的外心，取的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，由正方體的性質(zhì)可得三棱錐的外接球球心在直線上，連接，取的中點(diǎn)，連接、，易知當(dāng)即點(diǎn)與重合時(shí)，即外接球半徑最小，設(shè)，根據(jù)求得，進(jìn)而可求得外接球半徑，即可得解.

取的中點(diǎn)，易知為的外心，取的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，

由正方體的性質(zhì)可得平面，

則三棱錐的外接球球心在直線上，連接，

取的中點(diǎn)，連接、，

由中位線的性質(zhì)可得且，

所以，所以平面，，

若要使三棱錐的外接球的表面積最小，則要使其半徑即最小，

易知當(dāng)即點(diǎn)與重合時(shí)，最小，

設(shè)，由題意，，

則，，

由可得，化簡可得，

此時(shí)，三棱錐的外接球的半徑滿足，

所以三棱錐的外接球的表面積最小值.

故選：C.