Question

9．在△ABC中，D為BC中點，直線AB上的點M滿足：3$\overrightarrow{AM}$=2λ$\overrightarrow{AD}$+（3-3λ）$\overrightarrow{AC}$（λ∈R），則$\frac{|AM|}{|MB|}$=1．

Answer 1

分析 設$\overrightarrow{AM}$=x$\overrightarrow{AB}$，由題意可知$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），代入已知條件，整理得（3x-λ）$\overrightarrow{AB}$=（3-2λ）$\overrightarrow{AC}$，根據(jù)向量的基本定理可知只有當3x-λ=3-2λ=0時等式成立，即可求得x的值，求得$\frac{|AM|}{|MB|}$的值．

解答 解：設$\overrightarrow{AM}$=x$\overrightarrow{AB}$，
∵D為BC中點
∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
3$\overrightarrow{AM}$=2λ$\overrightarrow{AD}$+（3-3λ）$\overrightarrow{AC}$，
可以化為3x$\overrightarrow{AB}$=λ（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）+（3-3λ）$\overrightarrow{AC}$，
化簡為（3x-λ）$\overrightarrow{AB}$=（3-2λ）$\overrightarrow{AC}$，
∵只有當3x-λ=3-2λ=0時，（3x-λ）$\overrightarrow{AB}$=（3-2λ）$\overrightarrow{AC}$才成立
∴λ=$\frac{3}{2}$，x=$\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，即M為AB中點
$\frac{|AM|}{|MB|}$=1，
故答案為：1．

點評 本題考查向量的基本定理基本定理及其意義，考查向量加法的三角形法則，考查數(shù)形結合思想，屬于中檔題．