Question

如圖，△ACB與△ADB是有公共斜邊AB的兩個(gè)等腰直角三角形，平面ACB⊥平面ADB，求異面直線AC與BD所成的角．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OD，可證得OD，OB，OC兩兩相互垂直，且OD=OB=OC，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出異面直線AC與BD的方向向量，代入向量夾角公式，可得答案．

解答： 解：取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OD，
∵△ACB為等腰直角三角形，故OC⊥AB，
又∵平面ACB⊥平面ADB，
∴OC⊥平面ADB，
同理可證：OD⊥AB，
則OD，OB，OC兩兩相互垂直，且OD=OB=OC，
令OD=OB=OC=a，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，-a，0），C（0，0，a），B（0，a，0），D（a，0，0）
則

AC

=（0，a，a），

BD

=（a，-a，0），
設(shè)異面直線AC與BD所成的角為θ，
則cosθ=

| AC • BD |

| AC |•| BD |

=

a2

2 a• 2 a

=

1

2

，
∴θ=60°，
即異面直線AC與BD所成的角為60°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是異面直線及其所成的角，其中建立空間坐標(biāo)系，將異面直線夾角轉(zhuǎn)化為向量是解答的關(guān)鍵．