Question

已知：點(diǎn)P與點(diǎn)F（2，0）的距離比它到直線x+4=0的距離小2，若記點(diǎn)P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程．
（2）若直線L與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，且OA⊥OB．求證：直線L過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）試?yán)�用所學(xué)圓錐曲線知識(shí)參照（2）設(shè)計(jì)一個(gè)與直線L過(guò)定點(diǎn)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并解答所提問(wèn)題．

Answer 1

【答案】分析：（1）解法（A）：點(diǎn)P與點(diǎn)F（2，0）的距離比它到直線x+4=0的距離小2，所以點(diǎn)P與點(diǎn)F（2，0）的距離與它到直線x+2=0的距離相等．由拋物線定義得：點(diǎn)P在以F為焦點(diǎn)直線x+2=0為準(zhǔn)線的拋物線上，由此能求出拋物線方程．
解法（B）：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），則．當(dāng)x≤-4時(shí)，（x-2）²+y²=（-x-6）²，此時(shí)曲線不存在．當(dāng)x＞-4時(shí)，（x-2）²+y²=（x+2）²，化簡(jiǎn)得：y²=8x．
（2）設(shè)直線L：y=kx+b與拋物線交予點(diǎn)（x₁，y₁），（x₂，y₂），（a）若L斜率存在，設(shè)為k，，，由此能導(dǎo)出直線為y=k（x-8），所以L過(guò)定點(diǎn)（8，0）．
（3）（逆命題）如果直線L過(guò)定點(diǎn)（8，0），且與拋物線y²=8x相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．求證：．   
證明：設(shè)其方程為y=k（x-8），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立方程組，消去y，并整理得k²x²-（16k²+8）x+64k²=0，，x₁x₂=64，y₁y₂=k（x₁-8）•k（x₂-8）=k²x₁x₂-8k²（x₁+x₂）+64k²=-64．所以．
解答：解：（1）解法（A）：點(diǎn)P與點(diǎn)F（2，0）的距離比它到直線x+4=0的距離小2，所以點(diǎn)P與點(diǎn)F（2，0）的距離與它到直線x+2=0的距離相等．（1分）
由拋物線定義得：點(diǎn)P在以F為焦點(diǎn)直線x+2=0為準(zhǔn)線的拋物線上，（1分）
拋物線方程為y²=8x．（2分）
解法（B）：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），則．
當(dāng)x≤-4時(shí)，（x-2）²+y²=（-x-6）²，
化簡(jiǎn)得：y²=8（x+2），顯然x≥-2，而x≤-4，此時(shí)曲線不存在．
當(dāng)x＞-4時(shí)，（x-2）²+y²=（x+2）²，化簡(jiǎn)得：y²=8x．
（2）設(shè)直線L：y=kx+b與拋物線交予點(diǎn)（x₁，y₁），（x₂，y₂），（a）若L斜率存在，設(shè)為k，，，（1分），，即，b=-8k，（2分）
直線為y=k（x-8），所以L過(guò)定點(diǎn)（8，0）（1分）
（3）（逆命題）如果直線L過(guò)定點(diǎn)（8，0），且與拋物線y²=8x相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．求證：．   
證明：∵直線L過(guò)定點(diǎn)（8，0），
∴設(shè)其方程為y=k（x-8），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立方程組，消去y，并整理得k²x²-（16k²+8）x+64k²=0，
∴，x₁x₂=64，
y₁y₂=k（x₁-8）•k（x₂-8）
=k²x₁x₂-8k²（x₁+x₂）+64k²
=-64．
∴．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與圓錐曲線的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．