Question

我們知道，y=a^x(a＞0且a≠1)與y=log_ax(a＞0且a≠1)互為反函數。只要把其中一個進行指對互化，就可以得到它的反函數的解析式。任意一個函數y=f(x)，將x用y表示出來能否得到它的反函數？據函數的定義：對于自變量x的每一個值y都有唯一確定的值與之對應，如果存在反函數，應是對于y的每一個值，x都有唯一確定的值與之對應，據此探究下列函數是否存在反函數？若是，反函數是什么？若否，為什么？
(1)y=2x+1；
(2)y=；
(3)y=x²；
(4)y=。

Answer 1

解：(1)∵y=2x+1是單調增函數，由y=2x+1解得x=(y-1)，
這時對任意y∈R，都有唯一確定的x與之對應，也就是x是y的函數，
按習慣用x表示自變量，y表示函數，
則y=2x+1的反函數為y=(x-1)．
(2)同(1)的道理，∵y=單調增，也存在反函數，由y=解出x=y²，
∴y=的反函數為y=x²，因為這里的x就是y=中的y且y≥0，
∴x≥0，即反函數為y=x²(x≥0)．
(3)∵x=±1時，都有y=1，反過來對于y=1，x有兩個值與之對應，故y=x²不存在反函數．
(4)由y=，解得x=，
對y的每一個值，x都有唯一值與之對應，
故存在反函數，反函數為y=(x≠2)．