證明：?n∈N+，ln（
1
n
+1）＞
1
n2
-
1
n3
恒成立．
考點：不等式的基本性質(zhì)
專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用
分析：首先，構(gòu)造函數(shù)f（x）=x3-x2+ln（1+x），然后，求解導(dǎo)數(shù)，判斷其單調(diào)性f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，然后，得到f（x）＞f（0）=0，最后，令x=
1
n
上式也成立，所以命題得證．
解答： 證明：∵f（x）=x3-x2+ln（1+x）
則f'（x）=
3x2+(x-1)2
x+1
，
當x＞0時g'（x）＞0恒成立，
于是f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）＞f（0）=0
而
1
n
∈（0，1]，所以令x=
1
n
上式也成立，
∴l(xiāng)n（
1
n
+1）-
1
n2
+
1
n3
＜0恒成立．
上式化簡即得ln（
1
n
+1）＞
1
n2
-
1
n3
恒成立．
點評：本題重點考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式等知識，屬于中檔題，解題關(guān)鍵是輔助函數(shù)．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求下列函數(shù)的定義域．
（1）y=
2
sinx-1
+
1-2cosx
；
（2）y=
tanx+1
+lg（2cosx-1）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)y=f（x）的定義域為R，并且同時具有性質(zhì)：
①對任何x∈R，都有f（x3）=[f（x）]3；
②對任何x1，x2∈R，且x1≠x2，都有f（x1）≠f（x2）．
則f（0）+f（1）+f（-1）=（　�。�
A、0B、1C、-1D、不能確定

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，已知D是AB邊上一點，若
AD
=2
DB
，
CD
=λ
CA
+μ
CB
，則λ-μ=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足a1=1，且an=2an-1+2n（n≥2且n∈N*）．
（Ⅰ）求證：{
an
2n
}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，求Sn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)y=2x3-3x2-12x+5在[0，3]上的最小值是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列4個命題中，p是q的充要條件的個數(shù)是（　�。�
①p：A∪B=A，q：∁UA⊆∁UB；
②p：y=f（x-1）為奇函數(shù)，q：y=f（x）關(guān)于點（1，0）對稱；
③p：?x∈R+，滿足方程ax-2=0，q：?b∈R，函數(shù)f（x）=ax3-3ax+b在（-1，1）上遞減；
④p：
2＜x+y＜4
0＜xy＜3
，q：
0＜x＜1
2＜y＜3
．
A、1個B、2個C、3個D、4個

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C所對邊的邊長，設(shè)
m
=（b-
2
c，a），
n
=（cosA，cosB），且
m
⊥
n
．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）若a=
2
，△ABC的面積為1，求b，c．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

為了得到函數(shù)y=sin(2x-
π
6
)的圖象，只需把函數(shù)y=sin2x的圖象（　　）
A、向左平移
π
6
個單位
B、向右平移
π
6
個單位
C、向左平移
π
12
個單位
D、向右平移
π
12
個單位

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