【題目】設函數(shù),若在區(qū)間上無零點,則實數(shù)的取值范圍是( )

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】函數(shù)f(x)=ln(x+1)+a(x2﹣x),其中a∈R,x∈(﹣1,+∞).

f′(x)=,

g(x)=2ax2+ax﹣a+1.

(i)當a=0時,g(x)=1,此時f′(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調遞增(ii)當a>0時,△=a2﹣8a(1﹣a)=a(9a﹣8).

0<a≤時,△≤0,g(x)≥0,f′(x)≥0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調遞增,無極值點.

a>時,△>0,設方程2ax2+ax﹣a+1=0的兩個實數(shù)根分別為x1,x2,x1<x2

x∈(﹣1,x1)時,g(x)>0,f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調遞增;

x∈(x1,x2)時,g(x)<0,f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調遞減;

x∈(x2,+∞)時,g(x)>0,f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調遞增.

0≤a≤時,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調遞增.

∵f(0)=0,

∴x∈(0,+∞)時,f(x)>0,符合題意.

<a≤1時,由g(0)≥0,可得x2≤0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調遞增.

f(0)=0,

∴x∈(0,+∞)時,f(x)>0.

1<a時,由g(0)<0,可得x2>0,

∴x∈(0,x2)時,函數(shù)f(x)單調遞減.

f(0)=0,∴x∈(0,x2)時,f(x)<0,x趨向于正無窮時函數(shù)值大于0,不符合題意,舍去;

a<0時,設h(x)=x﹣ln(x+1),x∈(0,+∞),h′(x)=>0.

∴h(x)在(0,+∞)上單調遞增.

因此x∈(0,+∞)時,h(x)>h(0)=0,即ln(x+1)<x,

可得:f(x)<x+a(x2﹣x)=ax2+(1﹣a)x,

x>1﹣時,

ax2+(1﹣a)x<0,此時f(x)<0,不合題意,舍去.

綜上所述,a的取值范圍為[0,1].

故答案為:A.

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超過1小時

不超過1小時

20

8

12

m

(Ⅰ)求,;

(Ⅱ)能否有95%的把握認為該校學生一周參加社區(qū)服務時間是否超過1小時與性別有關?

(Ⅲ)以樣本中學生參加社區(qū)服務時間超過1小時的頻率作為該事件發(fā)生的概率,現(xiàn)從該校學生中隨機調查6名學生,試估計6名學生中一周參加社區(qū)服務時間超過1小時的人數(shù).

附:

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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