已知離心率為
3
2
的橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>o)過(guò)點(diǎn)M(2,1),O為坐標(biāo)原點(diǎn),平行于OM的直線l交橢圓于C不同的兩點(diǎn)A,B.
(1)求橢圓的C方程.
(2)證明:若直線MA,MB的斜率分別為k1、k2,求證:k1+k2=0.
(1)設(shè)橢圓C的方程為:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)

由題意得:
c
a
=
3
2
a2=b2+c2
4
a2
+
1
b2
=1③
,
把①代入②得:a2=4b2④.
聯(lián)立③④得:a2=8,b2=2.
∴橢圓方程為
x2
8
+
y2
2
=1

(2)證明:∵M(jìn)(2,1),∴kOM=
1
2

又∵直線lOM,可設(shè)l:y=
1
2
x+m
,將式子代入橢圓C得:x2+4(
1
2
x+m)2-8=0
,
整理得:x2+2mx+2m2-4=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4
設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k1、k2,則k1=
y1-1
x1-2
k2=
y2-1
x2-2

下面只需證明:k1+k2=0,
事實(shí)上,k1+k2=
1
2
x1+m-1
x1-2
+
1
2
x2+m-1
x2-2

=
1
2
(x1-2)+m
x1-2
+
1
2
(x2-2)+m
x2-2

=1+m(
1
x1-2
+
1
x2-2
)

=1+m•
x1+x2-4
x1x2-2(x1+x2)+4

=1+m•
-2m-4
2m2-4-2(-2m)+4

=1-
2m2+4m
2m2+4m

=0.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2,離心率為
3
2
,過(guò)F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1;
(Ⅰ)求橢圓C的方程.
(Ⅱ)若A,B,C是橢圓上的三個(gè)點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)B是橢圓C的右頂點(diǎn),且四邊形OABC為菱形時(shí),求此菱形的面積.
(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)p是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn),連接PF1、PF2,設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交橢圓C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M(m,0),求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖所示的曲線C是由部分拋物線C1:y=x2-1(|x|≥1)和曲線C2x2+
y2
m
=1
(y≤0,m>0)“合成”的,直線l與曲線C1相切于點(diǎn)M,與曲線C2相切于點(diǎn)N,記點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t(t>1),其中A(-1,0),B(1,0).
(1)當(dāng)t=
2
時(shí),求m的值和點(diǎn)N的坐標(biāo);
(2)當(dāng)實(shí)數(shù)m取何值時(shí),∠MAB=∠NAB?并求出此時(shí)直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知點(diǎn)B(0,1),A,C為橢圓C:
x2
a2
+y2
=1(a>1)上的兩點(diǎn),△ABC是以B為直角頂點(diǎn)的直角三角形.
(1)△ABC能否為等腰三角形?若能,這樣的三角形有幾個(gè)?
(2)當(dāng)a=2時(shí),求線段AC的中垂線l在x軸上截距的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,離心率為
2
2
,以線段F1F2為直徑的圓的面積為π,設(shè)直線l過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F2(l不垂直坐標(biāo)軸),且與橢圓交于A、B兩點(diǎn),
(1)求橢圓的方程;
(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M(m,0),試求m的取值范圍;
(3)求△ABF1面積的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知橢圓G:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
6
3
,右焦點(diǎn)為(2
2
,0).斜率為1的直線l與橢圓G交于A,B兩點(diǎn),以AB為底邊作等腰三角形,頂點(diǎn)為P(-3,2).
(Ⅰ)求橢圓G的方程;
(Ⅱ)求△PAB的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-
2
,0)
,(
2
,0)
,離心率是
6
3
,直線y=t橢圓C交與不同的兩點(diǎn)M,N,以線段為直徑作圓P,圓心為P.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若圓P與x軸相切,求圓心P的坐標(biāo);
(Ⅲ)設(shè)Q(x,y)是圓P上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)T變化時(shí),求y的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

設(shè)橢圓M:
y2
a2
+
x2
b2
=1
(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,
2
)
,其離心率e=
2
2

(Ⅰ)求橢圓M的方程;
(Ⅱ)直線l:y=
2
x+m
交橢圓于A、B兩點(diǎn),且△PAB的面積為
2
,求m的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

橢圓E的中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,離心率e=
2
3
,過(guò)點(diǎn)C(-1,0)的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn),且滿足:
CA
BC
(λ≥2).
(1)若λ為常數(shù),試用直線l的斜率k(k≠0)表示三角形OAB的面積;
(2)若λ為常數(shù),當(dāng)三角形OAB的面積取得最大值時(shí),求橢圓E的方程;
(3)若λ變化,且λ=k2+1,試問(wèn):實(shí)數(shù)λ和直線l的斜率k(k∈R)分別為何值時(shí),橢圓E的短半軸長(zhǎng)取得最大值?并求出此時(shí)的橢圓方程.

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