Question

12．已知函數(shù)f（x）=（e^x-e^-x）x．若f（log₃x）+f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$x）≤2f（1），則x的取值范圍（　�。�

• A． （-∞$\frac{1}{3}$]∪[3，+∞）
• B． [$\frac{1}{3}$，3]
• C． [$\frac{1}{3}$，1]
• D． [1，3]

Answer 1

分析 先判斷函數(shù)f（x）是定義域R上的偶函數(shù)，再把不等式f（log₃x）+f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$x）≤2f（1）化為f（log₃x）≤f（1）；利用導(dǎo)數(shù)判斷f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，把不等式化為-1≤log₃x≤1，求出解集即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=（e^x-e^-x）x，x∈R，
∴f（-x）=（e^-x-e^x）•（-x）=（e^x-e^-x）x=f（x），
∴f（x）是定義域R上的偶函數(shù)；
又f（${log}_{\frac{1}{3}}$x）=f（-log₃x）=f（log₃x），
∴不等式f（log₃x）+f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$x）≤2f（1）可化為f（log₃x）≤f（1）；
又f′（x）=（e^x-e^-x）+（e^x+e^-x）x，
當(dāng)x≥0時，f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；
∴原不等式可化為-1≤log₃x≤1，
解得$\frac{1}{3}$≤x≤3；
∴x的取值范圍是[$\frac{1}{3}$，3]．
故選：B．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用問題，也考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，是綜合題．