Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

6

3

，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2

3

．
（1）求橢圓的方程；
（2）試直線y=kx+1交橢圓于不同的兩點(diǎn)A、B，以AB為直徑的圓恰過(guò)原點(diǎn)O，求直線方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，求出幾何量，即可得到橢圓的方程；
（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合以AB為直徑的圓恰過(guò)原點(diǎn)O，求得切線向量，即可求得直線方程．

解答：解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，
∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

6

3

，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2

3

∴a=

3

，

c

a

=

6

3

∴c=

2

∵a²=b²+c²
∴b=1 （2分）
∴所求橢圓方程為

x2

3

+y2=1  （4分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2 3 +y2=1 y=kx+1

消去y并整理得（1+3k²）x²+6kx=0
則△=（6k）²-4（1+3k²）×0＞0，
解得k≠0   （5分）
故x1+x2=

-6k

1+3k2

，x₁x₂=0     （8分）
∵以AB為直徑的圓恰過(guò)原點(diǎn)O
∴

AO

•

OB

=0
∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=

1-3k2

1+3k2

=0（10分）．  
∴k=±

3

3

  
∴直線方程為y=±

3

3

x+1（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是借助于韋達(dá)定理，將以AB為直徑的圓恰過(guò)原點(diǎn)O，轉(zhuǎn)化為

AO

•

OB

=0．