Question

7．如圖1已知正方形ABCD的邊長為2，E，F(xiàn)分別為邊AD、AB的中點，將△ABE沿BE折起，使平面ABE⊥平面BCDE，如圖2，點G為AC的中點
（Ⅰ）求證：DG∥平面ABE；
（Ⅱ）求椎體G-ABE的體積．

Answer 1

分析 （I）連結(jié)EF，F(xiàn)G，則可證四邊形EFGD是平行四邊形，故GD∥EF，從而GD∥平面ABE；
（II）利用等面積法求出Rt△ABE斜邊上的高h(yuǎn)，則h為三棱錐A-BDE的高，于是V_G-ABE=V_D-ABE=V_A-BDE．

解答 證明：（I連結(jié)EF，F(xiàn)G，

∵F，G分別是AB，AC的中點，
∴FG∥BC，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}BC$，
又在圖1中，四邊形ABCD是正方形，E是AD的中點，
∴DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴四邊形DEFG是平行四邊形，
∴DG∥EF，又DG?平面ABE，EF?平面ABE，
∴DG∥平面ABE．
解：（II）∵DG∥平面ABE，
∴V_G-ABE=V_D-ABE=V_A-BDE．
∵AB=2，AE=1，∴BE=$\sqrt{5}$，
∴Rt△ABE的斜邊BE上的高h(yuǎn)=$\frac{AB•AE}{BE}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∵平面ABE⊥平面BCDE，
∴A到平面BCDE的距離d=h=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴V_A-BDE=$\frac{1}{3}{S}_{△BDE}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{2\sqrt{5}}{15}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，面面垂直的性質(zhì)，棱錐的體積計算，屬于中檔題．