Question

已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{a_n}滿足a₂+a₃+a₄=28，a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=-na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，且公比為q＞1，由等比中項(xiàng)列出式子求出a₃的值，代入已知的式子化簡，再由通項(xiàng)公式列出關(guān)于首項(xiàng)和公比的方程，求出a₁和q，代入通項(xiàng)公式即可；
（2）由（1）和題求出b_n，再根據(jù)特點(diǎn)利用錯(cuò)位相減法求出前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，且公比為q＞1．
∵a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng)，
∴2（a₃+2）=a₂+a₄，代入a₂+a₃+a₄=28，得a₃=8，
∴a₂+a₄，=20，則

a1q2=8 a1q+a1q3=20

，
解得

a1=2 q=2

或

a1=32 q= 1 2

（舍去），
∴an=2n，
（2）由（1）得，b_n=-na_n=-n•2ⁿ，
∴Sn=-(1×2+2×22+3×23+…+n×2n)，
即-Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n   ①
-2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1  ②
①-②得，Sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1
=

2(1-2n)

1-2

-n×2n+1=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2．

點(diǎn)評：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，以及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查了計(jì)算能力．