【題目】在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,點的極坐標為.
(1)求的直角坐標方程和的直角坐標;
(2)設與交于,兩點,線段的中點為,求.
【答案】(1),(2)
【解析】
(1)利用互化公式把曲線C化成直角坐標方程,把點P的極坐標化成直角坐標;
(2)把直線l的參數(shù)方程的標準形式代入曲線C的直角坐標方程,根據(jù)韋達定理以及參數(shù)t的幾何意義可得.
(1)由ρ2得ρ2+ρ2sin2θ=2,將ρ2=x2+y2,y=ρsinθ代入上式并整理得曲線C的直角坐標方程為y2=1,
設點P的直角坐標為(x,y),因為P的極坐標為(,),
所以x=ρcosθcos1,y=ρsinθsin1,
所以點P的直角坐標為(1,1).
(2)將代入y2=1,并整理得41t2+110t+25=0,
因為△=1102﹣4×41×25=8000>0,故可設方程的兩根為t1,t2,
則t1,t2為A,B對應的參數(shù),且t1+t2,
依題意,點M對應的參數(shù)為,
所以|PM|=||.
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【題目】已知橢圓的中心在原點,左焦點、右焦點都在軸上,點是橢圓上的動點,的面積的最大值為,在軸上方使成立的點只有一個.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點的兩直線,分別與橢圓交于點,和點,,且,比較與的大。
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【題目】已知函數(shù)f(x)=2ax-x2-3ln x,其中a∈R,為常數(shù).
(1)若f(x)在x∈[1,+∞)上是減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若x=3是f(x)的極值點,求f(x)在x∈[1,a]上的最大值.
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【題目】已知橢圓:過點與點.
(1)求橢圓的方程;
(2)設直線過定點,且斜率為,若橢圓上存在,兩點關于直線對稱,為坐標原點,求的取值范圍及面積的最大值.
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【題目】已知函數(shù),給出下列命題,其中正確命題的個數(shù)為
①當時,上單調(diào)遞增;
②當時,存在不相等的兩個實數(shù),使;
③當時,有3個零點.
A. 3B. 2C. 1D. 0
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【題目】如圖,設橢圓1的左右焦點分別為F1、F2,過焦點F1的直線交橢圓于A、B兩點,若△ABF2的內(nèi)切圓的面積為4,設A、B兩點的坐標分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則|y1﹣y2|值為_____.
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【題目】己知p:函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),f(m2)<f(m+2)成立;q:方程1(m∈R)表示雙曲線.
(1)若p為真命題,求m的取值范圍;
(2)若p∨q為真,p∧q為假,求m的取值范圍.
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