分析 (1)以B1為原點(diǎn),分別以→B1C1,→B1A1,→B1B的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),證明→OC=12→A1B1+→B1C1,然后證明OC∥平面A1B1C1.
(2)結(jié)合(1)中的空間直角坐標(biāo)系,求出平面ABC的一個法向量,平面ACA1的一個法向量,利用空間向量的數(shù)量積求解二面角B-AC-A1的正弦值,即可.
解答 (本題滿分10分)
(1)證明:如圖,以B1為原點(diǎn),分別以→B1C1,→B1A1,→B1B的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.…(1分)
依題意,A1(0,1,0),B1(0,0,0),C1(1,0,0),O(0,12,3),C(1,0,3),
因?yàn)?\overrightarrow{OC}=({1,-\frac{1}{2},0}),\overrightarrow{{A_1}{B_1}}=({0,-1,0}),\overrightarrow{{B_1}{C_1}}=({1,0,0}),…(3分)所以\frac{1}{2}\overrightarrow{{A_1}{B_1}}+\overrightarrow{{B_1}{C_1}}=({0,-\frac{1}{2},0})+({1,0,0})=({1,-\frac{1}{2},0}),所以\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{{A_1}{B_1}}+\overrightarrow{{B_1}{C_1}}$,
又OC?平面A1B1C1,所以O(shè)C∥平面A1B1C1.…(4分)
(2)解:依題意,結(jié)合(1)中的空間直角坐標(biāo)系,得A(0,1,4),B(0,0,2),C(1,0,3),A1(0,1,0),
則→AB=(0,−1,−2),→BC=(1,0,1),→AC=(1,−1,−1),→A1A=(0,0,4),…(5分)
設(shè)→n1=(x1,y1,z1)為平面ABC的一個法向量,
由{→n•→AB=0→n•→BC=0得{−y1−2z2=0x1+z1=0解得{y1=−2zx1=−z
不妨設(shè)z1=1,則x1=-1,y1=-2,
所以→n1=(−1,−2,1).…(7分)
設(shè)→n2=(x2,y2,z2)為平面ACA1的一個法向量,
由{→n2•→AC=0→n2•→A1A=0得{x2−y2−z2=0z2=0解得{x2=y2z2=0
不妨設(shè)y2=1,則x2=1,
所以→n2=(1,1,0).…(9分)
因?yàn)椋?cos<\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}>=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}|•|{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{-1-2+0}{{\sqrt{6}•\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2},于是sin<\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}>=\frac{1}{2}$,
所以,二面角B-AC-A1的正弦值為12.…(10分)
點(diǎn)評 本題考查空間向量的應(yīng)用,二面角的平面角的求法,直線與平面平行的判斷方法,考查空間想象能力以及計算能力.
年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 2 | B. | 2√2 | C. | √2−1 | D. | 1+√2 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | [0,3] | B. | [1,4] | C. | [2,5] | D. | [1,7] |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
資源 產(chǎn)品 | 資金(萬元) | 場地(平方米) |
A | 2 | 100 |
B | 35 | 50 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com