Question

已知
（1）求的值；
（2）當(dāng)x∈（-t，t]（其中t∈（-1，1），且t為常數(shù)）時(shí)，f（x）是否存在最小值，如果存在求出最小值；如果不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）當(dāng)f（x-2）+f（4-3x）≥0時(shí)，求滿足不等式f（x-2）+f（4-3x）≥0的x的范圍．

Answer 1

解：（1）令，解得-1＜x＜1，即函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，1），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
又f（-x）===-=-f（x），
所以f（x）為奇函數(shù)，
所以=-=0．
（2）設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，
則-=．
因?yàn)?1＜x₁＜x₂＜1，
所以-＞0，即＞．
所以在（-1，1）上為減函數(shù)，也在（-t，t]上為減函數(shù)，
①當(dāng)a＞1時(shí)，y=log_at單調(diào)遞增，t=單調(diào)遞減，所以y=在（-t，t]上單調(diào)遞減，
此時(shí)f（x）存在最小值為f（t）=．
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y=log_at單調(diào)遞減，t=單調(diào)遞減，所以y=在（-t，t]上單調(diào)遞增，
此時(shí)f（x）不存在最小值．
綜①②知，當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）存在最小值為f（t）=．
（3）f（x-2）+f（4-3x）≥0可化為f（x-2）≥-f（4-3x），
由（1）知f（x）為奇函數(shù)，所以f（x-2）≥f（3x-4），
①當(dāng)a＞1時(shí)，由（2）知f（x）在（-1，1）上為減函數(shù)，
所以，解得1＜x＜．
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由（2）知f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)，
所以，解得為∅．
綜①②得滿足不等式f（x-2）+f（4-3x）≥0的x的范圍為：（1，）．
分析：（1）由所求表達(dá)式的特點(diǎn)知，可判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法判斷f（x）的單調(diào)性，由單調(diào)性可討論f（x）的最小值情況；
（3）利用f（x）的奇偶性把f（x-2）+f（4-3x）≥0可化為f（x-2）≥f（3x-4），再利用f（x）的單調(diào)性即可解出不等式．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及其應(yīng)用，考查抽象不等式的求解，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力．