Question

已知正項等比數列{a_n}滿足：a₇=a₆+2a₅，若存在兩項a_m，a_n，使得a_ma_n=16a₁²，則

1

m

+

4

n

的最小值為（　　）

• A、

  3

  2

• B、

  5

  3

• C、

  25

  6

• D、不存在

Answer 1

考點：基本不等式,等比數列的通項公式

專題：常規(guī)題型,高考數學專題

分析：應先從等比數列入手，利用通項公式求出公比q，然后代入到a_ma_n=16a₁²中，可得到關于m，n的關系式，再利用基本不等式的知識解決問題．

解答： 解：設正項等比數列{a_n}的公比為q，易知q≠1，由a₇=a₆+2a₅，得到a₆q=a₆+2

a6

q

，解得q=-1或q=2，
因為{a_n}是正項等比數列，所以q＞0，因此，q=-1舍棄．
所以，q=2
因為a_ma_n=16a₁²，所以a12m-1a12n-1=16a12，所以m+n=6，（m＞0，n＞0），
 
所以

1

m

+

4

n

=

1

6

(m+n)(

1

m

+

4

n

)=

1

6

(5+

n

m

+

4m

n

)≥

1

6

(5+2

n m × 4m n

)=

3

2

，
當且僅當

n

m

=

4m

n

，且m+n=6，即m=2，n=4時等號成立．
故選A

點評：對等比數列的考查一定要突出基本量思想，常規(guī)思路一般利用同項、求和公式，利用首項，公比表示已知，進一步推出我們需要的隱含條件或結論；基本不等式要重視其適用條件的判斷，這里容易在取“=”時出錯．