Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

a

•

b

，其中

a

=（2cosx，1）

b

=（cosx，

3

sin2x），x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

3

，

π

3

]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求f（x） 在[-

π

3

，

π

3

]上取的最大值時向量

a

與

b

的夾角；
（3）若函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量

c

=（m，n）（|m|＜

π

2

）平移后得到函數(shù)y=f（x）的圖象，求m，n的值．

Answer 1

分析：（1）利用兩個向量的數(shù)量積公式求得f（x）=1+2sin（2x+

π

6

），令 2kπ-

π

2

≤（2x+

π

6

）≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得函數(shù)的增區(qū)間，由此可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

3

，

π

3

]上
的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）根據(jù) x∈[-

π

3

，

π

3

]，求得f（x）=1+2sin（2x+

π

6

） 的最大值，以及此時對應(yīng)的x值，根據(jù)cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a |•| b |

的值，求得＜

a

，

b

＞的值．
（3）把函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量

c

=（m，n）平移后得到函數(shù)y=2sin2（x-m）+n的圖象，此圖象與函數(shù)f（x）=1+2sin（2x+

π

6

） 的圖象重合，從而求得m，n的值．

解答：解：（1）由題意可得函數(shù)f（x）=

a

•

b

=2cos²x+

3

sin2x=1+cos2x+

3

sin2x=1+2sin（2x+

π

6

），
令 2kπ-

π

2

≤（2x+

π

6

）≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

2π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z，故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-

2π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

3

，

π

3

]上的單調(diào)遞增區(qū)間為 [-

π

3

，

π

6

]．
（2）由于f（x）=1+2sin（2x+

π

6

），當(dāng) x∈[-

π

3

，

π

3

]時，有2x+

π

6

∈[-

π

2

，

5π

6

]，故當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

時，函數(shù)取得最大值為3．
此時，x=

π

6

，中

a

=（2cosx，1）=（

3

，1 ），

b

=（cosx，

3

sin2x）=（

3

2

，

3

2

），
cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a |•| b |

=

3 × 3 2 +1× 3 2

2×3

=

1

2

，故＜

a

，

b

＞=

π

3

．
（3）把函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量

c

=（m，n）（|m|＜

π

2

）平移后得到函數(shù)y=2sin2（x-m）+n的圖象，此圖象與函數(shù)f（x）=1+2sin（2x+

π

6

） 的圖象重合，
故有-m=

π

12

，n=1，即 m=-

π

12

，n=1．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，正弦函數(shù)的增區(qū)間，兩個向量的夾角公式，函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．