8.試問函數(shù)f(x)=x+cosx是否為周期函數(shù)?請證明你的結論.

分析 假設f(x)為周期函數(shù),周期為T,則f(x)=f(x+T)恒成立,令x=0和x=π,列出方程組解出T,得出矛盾即可證明f(x)不是周期函數(shù).

解答 解:函數(shù)f(x)=x+cosx不是周期函數(shù).
證明如下:(反證法)
假設函數(shù)f(x)的一個周期為T(T≠0),則有f(x+T)=f(x)成立,
即T+cos(x+T)=cosx對一切實數(shù)x均成立.
分別取x=0和x=π得:$\left\{\begin{array}{l}{T+cosT=1}\\{T-cosT=-1}\end{array}\right.$,
兩式相加得2T=0,即T=0.與T≠0相矛盾.
所以假設不成立.
∴函數(shù)f(x)=x+cosx不是周期函數(shù).

點評 本題考查了函數(shù)周期的定義,反證法,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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