Question

設(shè)凼數(shù)f（x）=

a

•

b

，其中

a

=（cosx，sinx），

b

=（cosx，-3sinx+4cosx），x∈R
（1）求凼數(shù)f（x）的最小值以及取得最小值時x的集合．
（2）若凼數(shù)g（x）=f（x+

π

8

）+4

2

asinx-2

2

a²（0≤x≤π）的最大值為-

2

-1，求實數(shù)a的值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)的最值

專題：平面向量及應用

分析：首先由向量的數(shù)量積求出函數(shù)解析式并化簡后，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)解答．

解答： 解：由已知得函數(shù)f（x）=

a

•

b

=cos²x-3sin²x+4sinxcosx=cos2x+cos2x-1+2sin2x=2

2

sin（2x+

π

4

）-1，
所以（1）凼數(shù)f（x）的最小值為-1-2

2

，取得最小值時x的集合是{x|2x+

π

4

=2kπ-

π

2

}，即{x|x=kπ-

3π

8

，k∈Z}．
（2）凼數(shù)g（x）=f（x+

π

8

）+4

2

asinx-2

2

a²（0≤x≤π）
=2

2

sin（2x+

π

2

）-1+4

2

asinx-2

2

a²
=2

2

cos2x+4

2

asinx-2

2

a²-1
=2

2

-4

2

sin²x+4

2

asinx-2

2

a²-1
=-4

2

（sinx-

a

2

）²-

2

a²+2

2

-1，
因為0≤x≤π時函數(shù)的最大值為-

2

-1，
所以當a∈[0，2]時，sinx=

a

2

時函數(shù)最大值為-

2

a²+2

2

-1=-

2

-1，解得a=

3

（-

3

舍去）．
當a＞2時，函數(shù)在[0，π]單調(diào)遞增，sinx=1時最大值為-

2

-1=2

2

-4

2

+4

2

a-2

2

a²-1，解得a=1+

2

2

；
當a＜0時，函數(shù)在[0，π]單調(diào)遞減，sinx=0時最大值為-

2

-1=2

2

-2

2

a²-1，解得a=-

6

2

；
綜上實數(shù)a的值為

3

，1+

2

2

，或者-

6

2

．

點評：本題考查了向量的數(shù)量積運算以及三角函數(shù)解析式的化簡，利用三角函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)解題，考查了討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．