Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|ax2+x﹣4a|，其中x∈[﹣2，2]，a∈[﹣1，1]．
（1）當(dāng)α=1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的值域；
（2）記f（x）的最大值為M（a），求M（a）的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)α=1時(shí)，f（x）=|x2+x﹣4|，x∈[﹣2，2]，

由x2+x﹣4=0，解得x= ，

由f（x）在[﹣2，﹣ ]遞增，在（﹣ ， ）遞減，

在（ ，2]遞增，可得

f（x）的最小值為0，由f（﹣ ）= ，f（2）=4，

最大值為 ．

則f（x）的值域?yàn)閇0， ]；

（2）解：設(shè)f（x）=0的兩根為x1，x2，（x1＜x2），

當(dāng)﹣1≤a≤﹣ 時(shí)，f（x）在（﹣2，x1）遞減，（x1，﹣ ）遞增，（﹣ ，2）遞減，

可得f（x）在x=﹣ 處取得最大值，且為﹣ ；

當(dāng)﹣ ＜a≤0時(shí)，f（x）在（﹣2，x1）遞減，（x1，2）遞增，

可得f（x）在x=±2處取得最大值2；

當(dāng)0＜a≤ 時(shí)，f（x）在（﹣2，x2）遞減，（x2，2）遞增，可得f（x）在x=±2處取得最大值2；

當(dāng) ＜a≤1時(shí)，f（x）在（﹣2，﹣ ）遞增，（﹣ ，x2）遞減，（x2，2）遞增，

可得f（x）在x=﹣ 處取得最大值，且為 ．

即有M（a）= ，

當(dāng)﹣1≤a≤﹣ 時(shí)，M（a）=（﹣4a）+ 在[﹣1，﹣ ]遞減，可得M（a）∈[2， ]；

當(dāng) ＜a≤1時(shí)，M（a）=4a+ 遞增，可得M（a）∈[2， ]．

綜上可得，M（a）的取值范圍是[2， ]

【解析】（1）求出當(dāng)α=1時(shí)，f（x）=|x2+x﹣4|，x∈[﹣2，2]，解方程可得兩根，再由f（x）的單調(diào)性，可得值域；（2）設(shè)f（x）=0的兩根為x1 ， x2 ， （x1＜x2），對(duì)a討論，當(dāng)﹣1≤a≤﹣ 時(shí)，當(dāng)﹣ ＜a≤0時(shí)，當(dāng)0＜a≤ 時(shí)，當(dāng) ＜a≤1時(shí)，運(yùn)用單調(diào)性可得最大值，再由基本不等式和單調(diào)性，即可得到所求范圍．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和絕對(duì)值不等式的解法是解答本題的根本，需要知道當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減；含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)．