Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，且過(guò)（0，1），（1，

2

2

）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線l：3x-3y-1=0交橢圓C與A、B兩點(diǎn)，若T（0，1）求證：|

TA

+

TB

|=|

TA

-

TB

|．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出橢圓C的方程，利用橢圓C過(guò)點(diǎn)過(guò)（0，1），（1，

2

2

），建立方程組，即可求得橢圓C的方程；
（Ⅱ）由|

TA

+

TB

|=|

TA

-

TB

|兩邊平方整理可得

TA

•

TB

=0，故只需證明

TA

•

TB

=0，將直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，及向量的數(shù)量積即可得到結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：設(shè)橢圓C的方程為mx²+ny²=1（m＞0．n＞0）
由橢圓C過(guò)點(diǎn)過(guò)（0，1），（1，

2

2

）得：

m+ 1 2 n=1 m=1

，解得

m= 1 2 n=1

∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1
（Ⅱ）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

3x-3y-1=0 x2 2 +y2=1

消去y整理得27x²-12x-16=0，
由韋達(dá)定理得

x1+x2= 4 9 x1x2=- 16 27

由|

TA

+

TB

|=|

TA

-

TB

|兩邊平方整理可得

TA

•

TB

=0，故只需證明

TA

•

TB

=0

TA

•

TB

=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=x₁x₂+y₁y₂+（y₁+y₂）+1
而y1y2=(x1-

1

3

)(x2-

1

3

)=x1x2-

1

3

(x1+x2)+

1

9

y1+y2=x1-

1

3

+x2-

1

3

=x1+x2-

2

3

∴

TA

•

TB

=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=2x1x2-

4

3

(x1+x2)+

16

9

=-

32

27

-

16

27

+

16

9

=0
故|

TA

+

TB

|=|

TA

-

TB

|恒成立

點(diǎn)評(píng)：本題考查待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是聯(lián)立方程，正確運(yùn)用韋達(dá)定理．