Question

（2011•西安模擬）已知f（x）是定義在[-e，0）∪（0，e]上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，f（x）=ax+lnx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)a＜0，使得當(dāng)x∈[-e，0）時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是3？

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)x∈[-e，0），則-x∈（0，e]，故f（-x）=-ax+ln（-x），根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出此時(shí)的解析式，即可得到函數(shù)在定義域內(nèi)的解析式．
（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a＜0，滿足條件，①當(dāng)

1

a

≤-e，即-

1

e

≤a＜0時(shí)，利用單調(diào)性球的函數(shù)的最小值，a值不存在，②當(dāng)x∈（0，e]，即a＜-

1

e

，利用單調(diào)性球的函數(shù)的最小值，解出 a=-e²．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)x∈[-e，0），則-x∈（0，e]，故f（-x）=-ax+ln（-x）．
又f（x）是定義在[-e，0）∪（0，e]上的奇函數(shù)，∴-f（x）=-ax+ln（-x），
∴f（x）=ax-ln（-x），故f（x）=

ax+lnx   x∈(0，e] ax - ln(-x)  x∈[-e，0)

．
（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a＜0，使得當(dāng)x∈[-e，0）時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是3，
則由f′（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

 知，
①當(dāng)

1

a

≤-e，即-

1

e

≤a＜0時(shí)，由x∈[-e，0）得f′（x）≥0，故f（x）=ax-ln（-x）是[-e，0）上的增函數(shù)，
故f（x）的最小值為f（-e）=-ae-1=3，解得 a=-

4

e

＜-

1

e

 （舍去）．
②當(dāng)x∈（0，e]，即a＜-

1

e

，則有當(dāng)x∈[-e，

1

a

）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（

1

a

，0）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，f（x）的最小值等于 f（

1

a

）=1-ln（-

1

a

）=3，
解得 a=-e²．
綜上，存在實(shí)數(shù)a=-e²，似的當(dāng)x∈[-e，0）時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)，函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)得最值，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，確定函數(shù)的最小值，是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵．