Question

10．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，P為雙曲線C右支上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，△PF₁F₂的內(nèi)切圓與x軸切于點(diǎn)（1，0），且P與點(diǎn)F₁關(guān)于直線y=-$\frac{bx}{a}$對(duì)稱，則雙曲線方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)P是雙曲線右支上一點(diǎn)，按雙曲線的定義，|PF₁|-|PF₂|=2a，設(shè)三角形PF₁F₂的內(nèi)切圓心在橫軸上的投影為A（x，0），B、C分別為內(nèi)切圓與PF₁、PF₂的切點(diǎn)．由同一點(diǎn)向圓引得兩條切線相等知|PF₁|-|PF₂|=（PB+BF₁）-（PC+CF₂），由此得到△PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)．即為a=1，運(yùn)用對(duì)稱思想，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩直線垂直的條件，再由直線的斜率公式和點(diǎn)P滿足雙曲線方程，化簡整理，即可得到b=2，進(jìn)而得到雙曲線方程．

解答 解：點(diǎn)P是雙曲線右支上一點(diǎn)，
由雙曲線的定義，可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
若設(shè)三角形PF₁F₂的內(nèi)切圓心在橫軸上的投影為A（x，0），該點(diǎn)也是內(nèi)切圓與橫軸的切點(diǎn)．
設(shè)B、C分別為內(nèi)切圓與PF₁、PF₂的切點(diǎn)．考慮到同一點(diǎn)向圓引的兩條切線相等：
則有：PF₁-PF₂=（PB+BF₁）-（PC+CF₂）
=BF₁-CF₂=AF₁-F₂A
=（c+x）-（c-x）
=2x=2a，即x=a，
所以內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為a．
由題意可得a=1，
設(shè)P（m，n），F(xiàn)₁（-c，0），
P與點(diǎn)F₁關(guān)于直線y=-$\frac{bx}{a}$對(duì)稱，可得
$\frac{n-0}{m+c}$=$\frac{a}$，$\frac{1}{2}$n=-$\frac{2a}$（m-c），
解得m=$\frac{^{2}-{a}^{2}}{c}$，n=$\frac{2ab}{c}$．
即有P（$\frac{^{2}-{a}^{2}}{c}$，$\frac{2ab}{c}$），
代入雙曲線的方程可得$\frac{（^{2}-{a}^{2}）^{2}}{{c}^{2}{a}^{2}}$-$\frac{4{a}^{2}}{{c}^{2}}$=1，
由a=1，c²-b²=1，
解得b=2，c=$\sqrt{5}$，
即有雙曲線的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
故答案為：x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查定義法的運(yùn)用，以及直線的斜率公式的運(yùn)用，切線的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．