Question

14．已知函數(shù)f（x）=ax-$\frac{1}{x}$-（a+1）lnx，a∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a≥1時(shí)，若f（x）＞1在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出f（x）的定義域，再求導(dǎo)，根據(jù)a的范圍得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，再由f（x）＞1在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上恒成立，得到a的范圍．

解答 解：（Ⅰ） 函數(shù)f（x） 的定義域?yàn)閧x|x＞0}，$f'（x）=\frac{{a{x^2}-（a+1）x+1}}{x^2}=\frac{（ax-1）（x-1）}{x^2}$．
（1）當(dāng)a≤0 時(shí)，ax-1＜0，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1，則函數(shù)f（x） 的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），
令f'（x）＜0，解得x＞1，函數(shù)f（x） 單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）．
所以函數(shù)f（x） 的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）．
（2）當(dāng)0＜a＜1，令f'（x）＜0，解得1＜x＜$\frac{1}{a}$，則函數(shù)f（x） 的單調(diào)遞減區(qū)間為 （1，$\frac{1}{a}$）；
令f'（x）＞0，解得0＜x＜1或x＞$\frac{1}{a}$，則函數(shù)f（x） 的單調(diào)遞增區(qū)間為 （0，1），（$\frac{1}{a}$，+∞）；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，f'（x）≥0恒成立，則則函數(shù)f（x） 的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），
（4）當(dāng)a＞1時(shí)，$\frac{1}{a}$＜1，令f'（x）＜0，解得$\frac{1}{a}$＜x＜1，則函數(shù)f（x） 的單調(diào)遞減區(qū)間為 （$\frac{1}{a}$，1）；
令f'（x）＞0，解得0＜x＜$\frac{1}{a}$或x＞1，則函數(shù)f（x） 的單調(diào)遞增區(qū)間為 （0，$\frac{1}{a}$），（1，+∞）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上單調(diào)遞增，則f（x）_min=f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$-e-2＜1，故不滿足條件，
若a≥e，則由（Ⅰ）知，函數(shù)f（x） 在（1，e ）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{e}$，1）單調(diào)遞減，
f（x）_min=f（1）=a-1＞e-1＞1，滿足條件
當(dāng)1＜a＜e時(shí)，由（Ⅰ）知，函數(shù)f（x） 在（$\frac{1}{e}$，$\frac{1}{a}$），（1，e ）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{a}$，1）單調(diào)遞減，
當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）有極小值，極小值為a-1，
若極小值為最小值，f（x）＞1在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上恒成立，則a-1＞1，解得2＜a＜e，
若f（x）_min=f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{a}{e}$-e+a+1，
則$\frac{a}{e}$-e+a+1＞1，
即a＞$\frac{{e}^{2}}{e+1}$
因?yàn)?\frac{{e}^{2}}{e+1}$＜2，
綜上所述a的取值范圍為（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的判斷，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．要注意對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，屬于中檔題．