Question

已知函數(shù)f(x)=

1-x

ax

+lnx（注：ln2≈0.693）
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求正實數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=1時，若直線y=b與函數(shù)y=f（x）的圖象在[

1

2

，2]上有兩個不同交點，求實數(shù)b的取值范圍：
（3）求證：對大于1的任意正整數(shù)n，lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)則f'（x）≥0對x∈[1，+∞）恒成立，解之即可；
（2）把a(bǔ)=1代入函數(shù)f（x），將直線y=b和函數(shù)y=f（x）聯(lián)立方程，判斷其在[

1

2

，2]上有兩個不同交點，研究其導(dǎo)數(shù)得出不等式；
（3）先研究函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的單調(diào)性，令x=

n

n-1

，易得ln

n

n-1

＞

1

n

，然后利用此不等式進(jìn)行放縮證明；

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=

1-x

ax

+lnx，
∴f′（x）=

-ax-a(1-x)

(ax)2

+

1

x

，∵函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴f′（x）＞0，在[1，+∞）上恒成立，
∴

-ax-a(1-x)

(ax)2

+

1

x

≥0，化簡得，-

1

ax2

+

1

x

≥0，可得a≤

1

x

，求出

1

x

的最大值，

1

x

≤1，
∴a≤1；
（2）a=1，可得f（x）=

1-x

x

+lnx，y=b，
若直線y=b與函數(shù)y=f（x）的圖象在[

1

2

，2]上有兩個不同交點，
等價于方程b=

1-x

x

+lnx，在[

1

2

，2]上有兩個不同交點，
∴令g（x）=

1-x

x

+lnx-b，g（x）在[

1

2

，2]上有兩個不同交點，
g′（x）=

x-1

x2

，
若x＞1，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)；
若0＜x＜1，g′（x）＞0，g（x）為減函數(shù)；
∴

g( 1 2 )≥0 g(2)≥0 g(1)＜0

，解得0＜b≤ln2-

1

2

，
（3）當(dāng)a=1時，f（x）=f（x）=

1-x

x

+lnx，在[1，+∞）上為增函數(shù)，
當(dāng)n＞1時，令x=

n

n-1

，則x＞1，故f（x）＞f（1）=0，
f（

1

n-1

）=

1- n n-1

1 n-1

+ln

n

n-1

=-

1

n

+ln

n

n-1

＞0，即ln

1

n-1

＞

1

n

，
∴l(xiāng)nn＞ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

；

點評：此題考查學(xué)生會根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會根據(jù)函數(shù)的增減性證明不等式，是一道綜合題．