Question

已知函數f(x)=(

1

3

)x，x∈[-1，1]，函數g（x）=f²（x）-2af（x）+3的最小值為h（a）．
（1）求h（a）的表達式．    
（2）是否存在實數m，n同時滿足以下條件：①m＞n＞3； ②當h（a）的定義域為[m，n]時，值域為[n²，m²]，若存在，求出m，n的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：函數的最值及其幾何意義

專題：函數的性質及應用

分析：（1）利用換元法，結合二次函數的圖象和性質即可求h（a）的表達式．    
（2）根據二次函數圖象和性質，結合定義域和值域之間的關系進行討論即可．

解答： 解：（1）∵x∈[-1，1]，
∴(

1

3

)x∈[

1

3

，3]，
設(

1

3

)x=t，t∈[

1

3

，3]
則F（t）=t²-2at+3=（t-a）²+3-a²…（2分）
①當a＜

1

3

時，h(a)=F(t)min=F(

1

3

)=

28-6a

9

，
②當

1

3

≤a≤3，h（a）=F（t）_min=F（a）=3-a²，
③當a＞3，h（a）=F（t）_min=F（3）=12-6a，
則h（a）=

28-6a 9 ，a＜ 1 3 3-a2， 1 3 ≤a≤3 12-6a，a＞3

．…（6分）
（2）∵m＞n＞3，
∴h（a）=12-6a在（3，∞）上為減函數，…（8分）
又∵h（a）的定義域為[m，n]，值域為[n²，m²]，
∴

12-6m=n2 12-6n=m2

兩式相減得6（m-n）=（m-n）（m+n），…10分
∵m＞n＞3，
∴m+n=6，這與m＞n＞3矛盾．故滿足條件的m，n不存在．…（12分）

點評：本題主要考查函數解析式的求解，利用換元法是解決本題的關鍵．要求熟練掌握二次函數的圖象和性質．