Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線上，且位于x軸上方．若點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為，則過(guò)F、O、P三點(diǎn)的圓的方程是________．

Answer 1

x²+y²-x-7y=0
分析：根據(jù)拋物線方程，求出焦點(diǎn)F的坐標(biāo)和滿足條件|OP|=4的P點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)經(jīng)過(guò)F、O、P三點(diǎn)圓的一般式方程，將O、F、P坐標(biāo)代入，解關(guān)于D、E、F的方程組，即可得到所求圓的方程．
解答：∵拋物線的方程為y²=4x，∴拋物線焦點(diǎn)為F（1，0）
設(shè)P（，t），則|OP|==4，解之得t=4（舍負(fù)），
∴P坐標(biāo)為（4，4）
設(shè)經(jīng)過(guò)F、O、P三點(diǎn)的圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，將O（0，0），F(xiàn)（1，0），P（4，4）代入，得
，解之得D=-1，E=-7，F(xiàn)=0
∴經(jīng)過(guò)F、O、P三點(diǎn)的圓的方程為x²+y²-x-7y=0．
故答案為：x²+y²-x-7y=0
點(diǎn)評(píng)：本題給出過(guò)拋物線上一點(diǎn)和焦點(diǎn)的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求圓的一般式方程，著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和基本概念、圓的一般式方程等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．