Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y）對任意x、y∈R恒成立，在R上單調(diào)遞減．
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（2）若對一切x∈[

π

4

，

π

2

]，關(guān)于x的不等式f[2sin2(

π

4

+x)]-f(

3

cos2x)-f(m)＜0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x+y）=f（x）+f（y）對任意x、y∈R恒成立，利用賦值法：令x=y=0可可求f（0）=0，令y=-x可得f（0）=f（x）+f（-x）=0，從而可證
（2）由函數(shù)f（x）是奇函數(shù)及f[2sin2(

π

4

+x)]-f(

3

cos2x)-f(m)＜0和f（x+y）=f（x）+f（y）得f[2sin2(

π

4

+x)]＜f(

3

cos2x+m)，結(jié)合函數(shù)f（x）是R上的減函數(shù) 可得2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x＞m對一切x∈[

π

4

，

π

2

]恒成立，則m＜2sin2x(x+

π

4

)-

3

cos2x的最小值，結(jié)合已知x的范圍及賦值角公式可求

解答：.證明：（1）∵f（x+y）=f（x）+f（y）對任意x、y∈R恒成立
令x=y=0可得，f（0）=2f（0）
∴f（0）=0
令y=-x
∴f（0）=f（x）+f（-x）=0
∴f（-x）=-f（x）
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；（4分）
（2）∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)
由f[2sin2(

π

4

+x)]-f(

3

cos2x)-f(m)＜0
得f[2sin2(

π

4

+x)]＜f(

3

cos2x)+f(m)
即f[2sin2(

π

4

+x)]＜f(

3

cos2x+m)（6分）
又∵f（x）是R上的減函數(shù) 2sin2(

π

4

+x)＞

3

cos2x+m（8分）
即2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x＞m對一切x∈[

π

4

，

π

2

]恒成立
2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x=2sin(2x-

π

3

)+1（10分）

當(dāng)x∈[

π

4

，

π

2

]時，2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，sin(2x-

π

3

)∈[

1

2

，1]（12分）
2sin(2x-

π

3

)+1的最小值為2，
∴m＜2（14分）

點評：本題主要考查了利用賦值法求解抽象函數(shù)的函數(shù)值及證明函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的單調(diào)性的知識綜合求解參數(shù)的范圍，要注意函數(shù)的恒成立問題與函數(shù)的最值的轉(zhuǎn)化．