Question

8．將函數(shù)f（x）=$\sqrt{x}$中的自變量x用x=g（t）替換，替換后所得的函數(shù)F（t）=$\sqrt{g（t）}$與原函數(shù)f（x）的值域相同，則函數(shù)g（t）可以是下列函數(shù)中的①③④（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)所有滿足條件的g（t）的編號(hào)）．
①g（t）=t${\;}^{\frac{1}{2}}$；②g（t）=2^t；③g（t）=3t-5；④g（t）=（$\frac{1}{2}$）^t-1．

Answer 1

分析 根據(jù)題意求出函數(shù)f（x）=$\sqrt{x}$值域，依次將g（t）帶入函數(shù)F（t）=$\sqrt{g（t）}$與原函數(shù)f（x）的值域是否相同可得答案．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\sqrt{x}$=${x}^{\frac{1}{2}}$的定義域?yàn)閧x|x≥0}，
根冪函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞）．
∵函數(shù)F（t）=$\sqrt{g（t）}$，
當(dāng)①g（t）=t${\;}^{\frac{1}{2}}$時(shí)，其值域?yàn)閇0，+∞）．
那么F（t）=$\sqrt{g（t）}$其值域?yàn)閇0，+∞）．
與函數(shù)f（x）值域相同．
當(dāng)②g（t）=2^t時(shí)，其值域?yàn)椋?，+∞）．
那么F（t）=$\sqrt{g（t）}$其值域?yàn)椋?，+∞）．
與函數(shù)f（x）值域不相同．
當(dāng)③g（t）=3t-5時(shí)，其值域?yàn)椋?∞，+∞）．
若g（t）＜0，
故F（t）=$\sqrt{g（t）}$無(wú)意義．
若g（t）≥0，
那么F（t）=$\sqrt{g（t）}$其值域?yàn)閇0，+∞）．
與函數(shù)f（x）值域相同．
當(dāng)④g（t）=（$\frac{1}{2}$）^t-1時(shí)，其值域?yàn)椋?1，+∞）．
若g（t）＜0，
故F（t）=$\sqrt{g（t）}$無(wú)意義．
若g（t）≥0，
那么F（t）=$\sqrt{g（t）}$其值域?yàn)閇0，+∞）．
與函數(shù)f（x）值域相同．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本函數(shù)的值域和復(fù)合函數(shù)的值域的問(wèn)題．抓住題意下手．屬于基礎(chǔ)題．